数学建模6 典型相关分析

1、典型相关分析和皮尔逊相关系数/斯皮尔曼相关系数对比

皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数针对的是两个变量的相关性，典型相关分析针对的是两组变量进行相关分析，每组变量还可以由多个变量构成。
例如：下图求皮尔逊相关系数，求各变量之间的相关系数，即（身高，体重）得到一个相关系数，（身高，肺活量）得到一个相关系数，依次类推，得到互不相同的所有变量之间的相关系数。

下图求典型相关性，求两组变量的相关性，即（[第一组变量],[第二组变量]）=（[低学历，高学历，网络]，[艺术家，发行，主管]）之间相关性，是将第一组变量的三个变量做线性组合，和第二组变量的线性组合进行相关性分析。分析过程有spss软件进行，主要是对结果的解释。

2、典型相关分析

典型相关分析由Hotelling提出，其基本思想和主成分分析非常相似。 首先在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数； 然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对； 如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度。

例题
题目：分析第一组变量（体重，腰围，脉搏）和第二组变量（引体向上次数，起坐次数，跳跃次数）之间的关系。

操作：将数据导入spss中（版本24以上），分析-相关-典型相关-将（体重，腰围，脉搏）放集合1-剩下的3个放集合2-确定

查看结果（转为中文后）：只需了解典型相关系数（Canonical Correlations）、集合1标准化典型变量对应的线性组合系数表（Set 1 Standardized Canonical Correlation Coefficients）、集合2标准化典型相关变量对应的线性组合系数（Set 2 Standardized Canonical Correlation Coefficients）三张表格表达的意思即可。

分别来看三张表的表达意思

1、典型相关系数表

表格的最后一列，这一列代表着检验统计量所对应的p值，我们要通过它确定典型相关系数的个数。与前面提到的皮尔逊相关系数的p值一下，一般p值<0.05即为相关，（这是在置信水平为95%情况下）；上图中只有第一行的0.064接近0.05，剩下两个p太大，不显著，因此，可以在置信水平为90%情况下（p值<0.1）,可认为两组变量的线性组合相关，且因为相关系数为0.796成正相关。因为线性组合只有第一行的显著性水平达到了，因此集合1、集合2的线性组合只取第一列数据。
2、集合1标准化典型变量对应的线性组合系数表

由典型相关性表分析得出，只有第一个线性组合让两组变量呈现的相关性是显著的，因此，集合1典型相关系数取第一个线性组合的系数，也即第一列的系数。由此可得到第一组变量对应的线性组合：

3、集合2标准化典型相关变量对应的线性组合系数

同集合1，可得到第二组变量（集合2）的线性组合：

分析：其实我们典型分析结果就是得到两组变量各自的线性组合，以及，组合后整体U1和V1之间的相关性。从此题来看，第一组变量[体重，腰围，脉搏]和第二组变量[引体向上次数，起坐次数，跳跃次数]之间是正相关，相关系数为0.796，显著性为0.064，在90%的置信水平内认为此正相关具有统计学意义。且第一个变量体重是正相关，腰围是负相关，可以理解为：U1和V1是正相关，U1增加，V1也增加；假设U1的增加是其他两项不变，体重Z1的增加，则V1增加，假设第二组变量的起坐次数Z2和跳跃次数Z3都不变，则引体向上增加；也即，体重增加，对应引体向上增加。（可以这样理解，前提是其他的变量不变）

3、典型相关分析计算过程

1.数据分布有假设：两组数据符合联合正态分布
2.对两组变量的相关性进行检验
3.确定典型相关变量的个数（p值）
4.标准化后的典型相关变量
5.典型荷载分析
6.贡献