LeetCode刷题日记2022-4-4/307. 区域和检索 - 数组可修改-树状数组（BIT）

题目描述

给你一个数组 nums ，请你完成两类查询。

• 其中一类查询要求 更新 数组 nums 下标对应的值
• 另一类查询要求返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（ 包含 ）的nums元素的 和 ，其中 left <= right

实现 NumArray 类：

• NumArray(int[] nums) 用整数数组 nums 初始化对象
• void update(int index, int val) 将 nums[index] 的值 更新 为 val
• int sumRange(int left, int right) 返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（ 包含 ）的nums元素的 和 （即，nums[left] + nums[left + 1], …, nums[right]）

示例 1：

输入：
["NumArray", "sumRange", "update", "sumRange"]
[[[1, 3, 5]], [0, 2], [1, 2], [0, 2]]
输出：
[null, 9, null, 8]

解释：
NumArray numArray = new NumArray([1, 3, 5]);
numArray.sumRange(0, 2); // 返回 1 + 3 + 5 = 9
numArray.update(1, 2);   // nums = [1,2,5]
numArray.sumRange(0, 2); // 返回 1 + 2 + 5 = 8

提示：

• 1 <= nums.length <= 3 * 104
• -100 <= nums[i] <= 100
• 0 <= index < nums.length
• -100 <= val <= 100
• 0 <= left <= right < nums.length
• 调用 pdate 和 sumRange 方法次数不大于 3 * 104

题解思路

因为存在更新跟求指定范围和的操作

如果采用数组的方式进行的话

• 更新的操作为o（1）那么则求范围和的操作为o（n）

如果将数组改为前缀和数组的话

• 更新的操作为o（n）求范围和的操作为o（n）

这样无论怎么改变都会导致超时

因此我们使用树状数组，树状数组会使得时间复杂度将为o（logn）

关于树状数组的详细知识点，稍后再更新

树状数组

这是一个用来记录前缀的的数组

我们对其优化即可以得到树状数组

如上图所示，即为优化后的树状数组。

• 首先我们要求某个数最低位置的1的话 这里引入补码的概念

  • 补码即对一个二进制数取反然后加一
  • 将二进制源码与补码做与操作即可得到其最后一位的1
  • 例如
    • 4的二进制位（0100）4的反码为（1011）4的补码为（1100）
    • 将4与4的反码做&操作即可得到（0100）

• 求最低位置的1这个操作的概念定义为lowbit

  • 为什么要求这个lowbit

  • 我们先列举出1-32的lowbit

  • 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 16 1 2 1 4 1 2 1 8 1 2 1 4 1 2 1 32

  • 如果我们让第i个位置管理【i-lowbit+1，i】这个区间的话 那么会得到如下的示意图

    • 
    • 顺着数字往下画下划线，碰到的第一根线即为其管理的范围

  • 

  • 我们再来看上面这张图

    • 位置1统计第1个位置的值
    • 位置2记录第1，2个元素的值
    • 位置3记录第3个元素的值
    • 位置4记录第1，2，3，4个的元素值
    • 位置5记录第5个元素的值
    • 位置6记录第5，6个元素的值
    • 位置7记录第7个元素的值
    • 位置8记录第1，2，3，4，5，6，7，8个元素的值

  • 这就与我们上述的lowbit概念有些关系了

    • 即第i个位置管理着【i-lowbit+1，i】个元素的值

  • 那如果我们更新一个元素的值的话，怎么对这个树状数组进行更新呢

    • 例如x=2位置处的元素
    • 我们将x+lowbit（x）=4 发现第四个位置确实管理着第2个位置
    • 我们在将4+lowbit（4）=8会发现第8个位置确实也管理着第4个位置
    • 那我们只要一直遍历x+lowbit（x）直到需要求的位置即可

  • 这里我们介绍一个快速定义树状数组的代码

    •         for i in range(1,len(nums)):
                  j=i+self.lowbit(i)
                  if j

题解代码

class NumArray:
    def lowbit(self,x):
        return x&(-x)
    def __init__(self, nums: List[int]):
        self.tree=[0]+nums
        for i in range(1,len(nums)):
            j=i+self.lowbit(i)
            if j None:
        pre_val=self.sumRange(index,index)
        diff=val-pre_val
        i=index+1
        while i int:
        return self.pre_sum(right)-self.pre_sum(left-1)