考研线性代数考点总结

一.行列式

1.数字型行列式

• 数字行列式的计算
• 含零子式的分块计算

2.行列式的性质

• |A|=|A^T|
• 交换行列，行列式的值变号
• 含公因子的提出或乘进去
• 把某行的K倍加到另一行，行列式的值不变。
• 行列式可以根据某一行或某一列分拆

3.抽象行列式

• n阶或高阶行列式

  常规的重点行列式一定要掌握

• 含有具体数字，有可能展开或递归

• 一般把含有相同的划到一边组合再计算

4.计算性质

|A*|=|A|^n-1

|A**|=|A|^(n-1)方

一个矩阵为正交矩阵，并且行列式的值<0，则它的特征值必有-1.

二.矩阵

1.矩阵的基本运算

经典例题：

• A的秩为1
• （E+A）ⁿ 的二项式定理展开
• |A|ⁿ
• 二项式定理展开系数求和

例题请看世纪高教视频。

2.矩阵的幂运算

一般会用到P^-1 BP的累乘

3.矩阵的初等变换

矩阵A经过有限次初等变化得到B，则A和B是等价的；等价带来的关系只有同时可逆、秩相同、行列式值相等，不包括特征值的对应关系。（所以在矩阵里，相似比等价“大”的地方就是相似的两个矩阵对应的特征值也相等）

4.伴随矩阵和可逆矩阵

• 注意伴随矩阵和原矩阵的元素对应关系
• 一般涉及到添加单位矩阵参与化简运算
• 几个公式要记劳

小技巧：求某些矩阵运算后的行列式的值，不要被行列式影响，先取“绝对值”里面的矩阵运算化简，一般都是抽象矩阵，化简对了结果就出来了

秩的重要（易遗忘性质）：

• |r(A)-r(B)|<=r(A+/-B)<=r(A)+r(B)

5.矩阵方程

参考后面的线性方程组这一部分

三.向量

1.向量的运算

• 加法（减法看成负数的加法）
• 数乘（除法看作分数的乘法）
• 内积（向量的独特运算）
• 向量正交（内积为0）

2.线性相关问题

也可以理解为线性无关问题

• 定义：零解非零解的讨论（用的少，便于理解而已）

• 秩：

  满秩===》线性无关

  不满秩===》线性相关

• 行列式：

  由秩可以提出来：

  • |A|=0，线性相关
  • |A|!=0，线性无关

重要结论：

• n+1个n维向量必线性相关

• 线性相关本来是两个或多个向量之间关系的概念，但如果只有一个向量，非要说线性无关的概念，那么有一个0向量线性相关，一个非0向量线性无关。（一般不这么说）

• 一组向量新加向量，其相关可能性变大；一组向量新加元素，其无关可能性变大。

• 等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价

一个关系：两向量正交一定线性无关，而线性无关未必正交。

3.线性表示问题

可以理解到后面的线性向量组解的问题

• 唯一表示：r(A)=r(A|b)=n
• 多种表示：r(A)=r(A|b)
• 不能表示：r(A)

4.极大线性无关组

秩主元所在的向量构成一个极大线性无关组

四.线性方程组

1.齐次线性方程组

首先，理解一下概念：

• 方程组的一般形式和向量形式

• 方程组的解（有解或无解能有什么关系）

• 基础解系与通解

  基础解系是一个代表，而通解包含所有的基础解系

• 基础解系向量个数

  基础解系的向量个数+r(A)=n(未知量的个数)

  这里n在一般形式中就是x的个数，在向量形式中一般就是列数

2.非齐次线性方程组

有解的条件：

• 有唯一解
• 有无穷解
• 无解

对应第三部分的线性表示问题

解的性质：

• 齐次的解+非齐次的解仍是非齐解
• 非齐次的通解结构为对应的齐次通解+非齐次方程的一个特解
• 求特解时，选择自由变量全取0，可以得到对应的一个特解

这里面的核心问题就是这两个对应的知识点，一个是解的存在条件，一个是求通解。

五.特征值、特征向量、相似矩阵

1.特征值与特征向量

• n阶矩阵也就是（方阵）才有特征值
• 特征向量不为0

步骤：

• 1.求特征值

  快速方法都是行与列的结合，如果只单纯行变化，会感觉计算非常复杂

• 2.根据特征值求对应的特征向量

  总爱忘了，它是根据对应 特征值的齐次方程组求解特征向量

2.相似矩阵

相似矩阵的性质：

• 1.自身性：A~A
• 2.对称性：A~B ====> B~A
• 3.传递性

3.正交矩阵

• 定义：A*A^T =A^T *A=E

• A是正交矩阵，其行列式的值为1或-1。

• A是正交矩阵，其逆矩阵、伴随矩阵也是正交矩阵

• 若A、B都是正交矩阵，则AB和BA也都是正交矩阵

4.实对称阵

• 都是实数
• 对称矩阵

跟普通方阵相比，普通方程的特征值可能是复数，而实对称阵的特征值一定是实数。

对比点	普通方阵	实对称阵
特征值	可能复数	一定实数
不同特征值对应的特征向量	线性无关	线性无关+相互正交
相似对角化	不一定	一定
正交相似对角化	不能	能

正交相似对角化：相似对角化矩阵是正交矩阵

六.二次型

1.二次型的标准化（配方法）

• 1.令x1=y1+y2，x2=y1-y2，x3=y3，化简（若含有平方项可跳过）
• 2.配x1
• 3.配x2
• 4.配x3
• 5.描述可逆线性变换和最后的二次型标准型

2.二次型的标准化（正交变换法）

• 1.写出二次型的矩阵形式
• 2.求出矩阵的特征值
• 3.求出对应特征值的特征向量
• 4.正交化、单位化
• 5.写出最后的可逆线性变化

3.惯性定理与矩阵合同

可逆线性变换不改变二次型的正负惯性指数

A可逆线性变换得到B，则AB合同

2021年真题笔记

• 选3：泰勒展开式
• 选4：0到1上积分的极限表达式
• 选7：分块矩阵秩的理解
• 填3：积分的奇偶性、对称性
• 填4：欧拉方程（冷门）
• 填5：抽象行列式计算问题