1.7 无穷小的比较

作者简介:数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师,分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人!
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文章目录

  • 无穷小的阶
  • 等价无穷小定理
  • 常用等价无穷小

两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小,但是关于两个无穷小的商却不一定是无穷小. 它的结果有多种情况,比如,当 x → 0 x \rightarrow 0 x0 时, s i n x sinx sinx, 1 − c o s x 1-cosx 1cosx, x 2 x^{2} x2, 2 x 2x 2x 都是无穷小,但
lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 ,   lim ⁡ x → 0 1 − c o s x x 2 = 1 2 ,   lim ⁡ x → 0 2 x x 2 = ∞ ,   lim ⁡ x → 0 x 2 2 x = 0. \begin{align} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1,~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}}=\frac{1}{2}, ~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{x^{2}}=\infty,~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{2x}=0.\nonumber \end{align} x0limxsinx=1, x0limx21cosx=21, x0limx22x=, x0lim2xx2=0.
这说明两个无穷小的商的极限有多种情况,反映了不同的无穷小趋于零的速度是不一样的. 通过比较两个无穷小趋于零的速度, 引入了无穷小的阶的概念.

无穷小的阶

  1. 定义

α = α ( x ) ≠ 0 \alpha=\alpha(x)\neq 0 α=α(x)=0 β = β ( x ) \beta=\beta(x) β=β(x) 为自变量 x x x 的同一变化过程中的两个无穷小, lim ⁡ β α \lim\large\frac{\beta}{\alpha} limαβ 也是在这个变化过程中的极限.
  ~  
(1)若 lim ⁡ β α = 0 \lim\large\frac{\beta}{\alpha}=0 limαβ=0,则称 β \beta β 是比 α \alpha α 高阶的无穷小,记为 β = o ( α ) \beta=o(\alpha) β=o(α);
  ~  
(2)若 lim ⁡ β α = ∞ \lim\large\frac{\beta}{\alpha}=\infty limαβ=,则称 β \beta β 是比 α \alpha α 低阶的无穷小;
  ~  
(3)若 lim ⁡ β α = c ≠ 0 \lim\large\frac{\beta}{\alpha}=c\neq0 limαβ=c=0,则称 β \beta β α \alpha α同阶无穷小;
  ~  
(4)若 lim ⁡ β α k = c ≠ 0 , k > 0 \lim\large\frac{\beta}{\alpha^{k}}=c\neq0, k>0 limαkβ=c=0,k>0,则称 β \beta β 是关于 α \alpha α k k k 阶无穷小;
  ~  
(5)若 lim ⁡ β α = 1 \lim\large\frac{\beta}{\alpha}=1 limαβ=1,则称 β \beta β α \alpha α 是**等价无穷小**,记为 α \alpha α ~ β \beta β.

  1. 例子

lim ⁡ x → 0 x 2 2 x = 0 \lim_{x\rightarrow 0} \large\frac{x^{2}}{2x}=0 limx02xx2=0, 所以当 x → 0 x \rightarrow 0 x0 x 2 x^{2} x2 是比 2 x 2x 2x 高阶的无穷小,即 x 2 = o ( 2 x ) x^{2}=o(2x) x2=o(2x).

lim ⁡ x → 0 1 − c o s x x 2 = 1 2 \lim_{x\rightarrow 0} \large\frac{1-cosx}{x^{2}}=\frac{1}{2} limx0x21cosx=21, 所以当 x → 0 x \rightarrow 0 x0 1 − c o s x 1-cosx 1cosx x 2 x^{2} x2 是同阶无穷小.

lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 \lim_{x\rightarrow 0}\large\frac{sinx}{x}=1 limx0xsinx=1, 所以当 x → 0 x \rightarrow 0 x0 s i n x sinx sinx x x x 是等价无穷小,即 s i n x sinx sinx ~ x x x.


等价无穷小定理

  1. 定理 1

α = α ( x ) ≠ 0 \alpha=\alpha(x)\neq 0 α=α(x)=0 β = β ( x ) \beta=\beta(x) β=β(x) 都是自变量 x x x 的同一变化过程中的两个无穷小,则 β \beta β α \alpha α 是等价无穷小的充分必要条件为 β = α + o ( α ) \beta=\alpha+o(\alpha) β=α+o(α).

  1. 定理 2

α \alpha α, β \beta β, α ′ \alpha' α, β ′ \beta' β 都是自变量 x x x 的同一变化过程中的两个无穷小,且 α \alpha α ~ α ′ \alpha' α β \beta β ~ β ′ \beta' β,若 lim ⁡ β ’ α ‘ \lim\large\frac{\beta’}{\alpha‘} limαβ 存在,则 lim ⁡ β α \lim\large\frac{\beta}{\alpha} limαβ存在, 且 lim ⁡ β α \lim\large\frac{\beta}{\alpha} limαβ= lim ⁡ β ’ α ‘ \lim\large\frac{\beta’}{\alpha‘} limαβ.

注:此定理表明,在求两个无穷小的商的极限时,可将分子、分母同时用等价无穷小替换来简化计算,也可以只对分子或者分母用等价无穷小替换.

  1. 定理 3

α \alpha α, α ′ \alpha' α 是自变量 x x x 的同一变化过程中的两个无穷小, f ( x ) f(x) f(x) 是这个变化过程中的一个函数,且 α \alpha α ~ α ′ \alpha' α,则有:
  ~  
(1) 若 lim ⁡ [ α ′ f ( x ) ] \lim[\alpha'f(x)] lim[αf(x)] 存在,则 lim ⁡ [ α f ( x ) ] \lim[\alpha f(x)] lim[αf(x)] 存在, 且 lim ⁡ [ α ′ f ( x ) ] \lim[\alpha'f(x)] lim[αf(x)] = lim ⁡ [ α ′ f ( x ) ] \lim[\alpha'f(x)] lim[αf(x)]
  ~  
(2)若 lim ⁡ f ( x ) α ′ \lim\large\frac{f(x)}{\alpha'} limαf(x) 存在, 则 lim ⁡ f ( x ) α \lim\large\frac{f(x)}{\alpha} limαf(x) 存在, 且 lim ⁡ f ( x ) α \lim\large\frac{f(x)}{\alpha} limαf(x) = lim ⁡ f ( x ) α ′ \lim\large\frac{f(x)}{\alpha'} limαf(x) .

注:此定理表明,在求一个变量的极限时,可将该变量中的一个无穷小量因子(无论是在分子上还是分母上)替换成它的等价无穷小来简化极限计算.
不能滥用等价无穷小代换
无穷小代换原则积商可部分代换,和差只能总体代换.


常用等价无穷小

x → 0 x \rightarrow 0 x0 时,几个常用的等价无穷小有:
sin ⁡ x ∼ x ,     tan ⁡ x ∼ x ,     arcsin ⁡ x ∼ x ,     arctan ⁡ x ∼ x , 1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 ,     ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ x ,     e x − 1 ∼ x ,     ( 1 + x ) α − 1 ∼ α x . \begin{align} \sin x \sim x, ~~~\tan x\sim x,~~~\arcsin x\sim x,~~~\arctan x\sim x,\nonumber\\ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}, ~~~\ln (1+x) \sim x,~~~e^{x}-1 \sim x,~~~(1+x)^{\alpha} -1\sim \alpha x.\nonumber \end{align} sinxx,   tanxx,   arcsinxx,   arctanxx,1cosx21x2,   ln(1+x)x,   ex1x,   (1+x)α1αx.

复合函数的极限运算法则,将等价无穷小中的 x x x 换成某个函数 f ( x ) f(x) f(x),只要在某个变化过程中 f ( x ) → 0 f(x) \rightarrow 0 f(x)0 ,则上述等价无穷小仍然成立. 即在 x x x 的某个变化过程中, 若 f ( x ) → 0 f(x) \rightarrow 0 f(x)0,则有
sin ⁡ f ( x ) ∼ f ( x ) ,     tan ⁡ f ( x ) ∼ f ( x ) ,     arcsin ⁡ f ( x ) ∼ f ( x ) , arctan ⁡ f ( x ) ∼ f ( x ) ,     1 − cos ⁡ f ( x ) ∼ 1 2 [ f ( x ) ] 2 ,     ln ⁡ [ 1 + f ( x ) ] ∼ f ( x ) , e f ( x ) − 1 ∼ f ( x ) ,     [ 1 + f ( x ) ] α − 1 ∼ α f ( x ) . \begin{align} \sin f(x) \sim f(x), ~~~\tan f(x)\sim f(x),~~~\arcsin f(x)\sim f(x),\nonumber\\ \arctan f(x)\sim f(x), ~~~1-\cos f(x) \sim \frac{1}{2}[f(x)]^{2}, ~~~\ln [1+f(x)] \sim f(x),\nonumber\\ e^{ f(x)}-1 \sim f(x),~~~[1+ f(x)]^{\alpha} -1\sim \alpha f(x).\nonumber \end{align} sinf(x)f(x),   tanf(x)f(x),   arcsinf(x)f(x),arctanf(x)f(x),   1cosf(x)21[f(x)]2,   ln[1+f(x)]f(x),ef(x)1f(x),   [1+f(x)]α1αf(x).


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