1.7 无穷小的比较

作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人！
个人主页：阿芒的主页
⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。

两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小，但是关于两个无穷小的商却不一定是无穷小. 它的结果有多种情况，比如，当 $x\to 0$ 时， $sinx$, $1-cosx$, $x^2$, $2x$ 都是无穷小，但
$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2},\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{x^2}=\infty ,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{2x}=0.\end{array}$$
这说明两个无穷小的商的极限有多种情况，反映了不同的无穷小趋于零的速度是不一样的. 通过比较两个无穷小趋于零的速度， 引入了无穷小的阶的概念.

无穷小的阶

1. 定义

设 $\alpha =\alpha (x)\ne 0$ 与 $\beta =\beta (x)$ 为自变量 $x$ 的同一变化过程中的两个无穷小，$\lim \frac{\beta }{\alpha }$ 也是在这个变化过程中的极限.
  ~  
（1）若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记为 $\beta =o(\alpha )$;
  ~  
（2）若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小；
  ~  
（3）若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小；
  ~  
（4）若 $\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0,k>0$，则称 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小;
  ~  
（5）若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是**等价无穷小**，记为 $\alpha$ ~ $\beta$.

2. 例子

${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{2x}=0$, 所以当 $x\to 0$，$x^2$ 是比 $2x$ 高阶的无穷小，即 $x^2=o(2x)$.

${\lim }_{x\to 0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$, 所以当 $x\to 0$，$1-cosx$ 与 $x^2$ 是同阶无穷小.

${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$, 所以当 $x\to 0$，$sinx$ 与 $x$ 是等价无穷小，即 $sinx$ ~ $x$.

---

等价无穷小定理

1. 定理 1

设 $\alpha =\alpha (x)\ne 0$ 与 $\beta =\beta (x)$ 都是自变量 $x$ 的同一变化过程中的两个无穷小，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充分必要条件为 $\beta =\alpha +o(\alpha )$.

2. 定理 2

设 $\alpha$, $\beta$, ${\alpha }^{\prime }$, ${\beta }^{\prime }$ 都是自变量 $x$ 的同一变化过程中的两个无穷小，且 $\alpha$ ~ ${\alpha }^{\prime }$， $\beta$ ~ ${\beta }^{\prime }$，若 $\lim \frac{\beta ’}{\alpha ‘}$ 存在，则 $\lim \frac{\beta }{\alpha }$存在， 且 $\lim \frac{\beta }{\alpha }$= $\lim \frac{\beta ’}{\alpha ‘}$.

注：此定理表明，在求两个无穷小的商的极限时，可将分子、分母同时用等价无穷小替换来简化计算，也可以只对分子或者分母用等价无穷小替换.

3. 定理 3

设 $\alpha$, ${\alpha }^{\prime }$ 是自变量 $x$ 的同一变化过程中的两个无穷小，$f(x)$ 是这个变化过程中的一个函数，且 $\alpha$ ~ ${\alpha }^{\prime }$，则有：
  ~  
(1) 若 $\lim [{\alpha }^{\prime }f(x)]$ 存在，则 $\lim [\alpha f(x)]$ 存在, 且 $\lim [{\alpha }^{\prime }f(x)]$ = $\lim [{\alpha }^{\prime }f(x)]$；
  ~  
(2）若 $\lim \frac{f(x)}{{\alpha }^{\prime }}$ 存在， 则 $\lim \frac{f(x)}{\alpha }$ 存在, 且 $\lim \frac{f(x)}{\alpha }$ = $\lim \frac{f(x)}{{\alpha }^{\prime }}$ .

注：此定理表明，在求一个变量的极限时，可将该变量中的一个无穷小量因子（无论是在分子上还是分母上）替换成它的等价无穷小来简化极限计算.
不能滥用等价无穷小代换！
无穷小代换原则：积商可部分代换，和差只能总体代换.

---

常用等价无穷小

当 $x\to 0$ 时，几个常用的等价无穷小有：
$$\begin{array}{r}\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x,\\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,\ln (1+x)\sim x,e^x-1\sim x,(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x.\end{array}$$

由复合函数的极限运算法则，将等价无穷小中的 $x$ 换成某个函数 $f(x)$，只要在某个变化过程中 $f(x)\to 0$ ，则上述等价无穷小仍然成立. 即在 $x$ 的某个变化过程中， 若 $f(x)\to 0$，则有
$$\begin{array}{r}\sin f(x)\sim f(x),\tan f(x)\sim f(x),\arcsin f(x)\sim f(x),\\ \arctan f(x)\sim f(x),1-\cos f(x)\sim \frac{1}{2}[f(x){]}^2,\ln [1+f(x)]\sim f(x),\\ e^{f(x)}-1\sim f(x),[1+f(x){]}^{\alpha }-1\sim \alpha f(x).\end{array}$$

---