C++---区间DP---加分二叉树（每日一道算法2023.4.28）

题目：
设一个 n 个节点的二叉树 tree 的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字 1,2,3,…,n 为节点编号。
每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i 个节点的分数为 di，tree 及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树 subtree（也包含 tree 本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数 
若某个子树为空，规定其加分为 1。

叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树 tree。

要求输出： 
（1）tree的最高加分 
（2）tree的前序遍历

输入格式
第 1 行：一个整数 n，为节点个数。 
第 2 行：n 个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。

输出格式
第 1 行：一个整数，为最高加分（结果不会超过int范围）。     
第 2 行：n 个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

数据范围
n<30

输入:
5
5 7 1 2 10

输出：
145
3 1 2 4 5

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 35;
int n, m, w[N];             //w[i]为第i个节点的分数
int f[N][N];                //f[L][R] 表示所有中序遍历的结果为L到R的所有二叉树，属性为Max(得分),
int g[N][N];                //g[L][R] 表示所有中序遍历的结果为L到R的所有二叉树中得分最高的根节点是哪个(方便最后以前序遍历输出)

void dfs(int l, int r) {    //dfs获取前序遍历
    if (l > r) return;
    int root = g[l][r];
    cout << root << " ";
    dfs(l, root-1);
    dfs(root+1, r);
}

int main() {
    //读入
    cin >> n;
    for (int i =1; i<=n; i++) cin >> w[i];

    //区间dp (区间长度len -> 左端点l -> 分界线k)
    for (int len = 1; len <= n; len++) {
        for (int l = 1; l+len-1 <= n; l++) {
            int r = l+len-1;
            if (len == 1) {         //初始化，所有leaf节点的值为w[i]，同时leaf节点也是自己的最优根节点
                f[l][r] = w[l];
                g[l][r] = l;
            }
            else {
                for (int k = l; k<=r; k++) {
                    int left = k==l ? 1 : f[l][k-1];   //获取左子树分数，如果左子树为空记得赋值为1，要不然后续计算分数的时候乘0就不对了
                    int right = k==r ? 1 : f[k+1][r];  //获取右子树分数，同理
                    int score = right*left + w[k];
                    if (score > f[l][r]) {    //f[l][r] = max(f[l][r], score), 但因为用g数组记录一下最优根节点是哪个，所以写个if
                        f[l][r] = score;
                        g[l][r] = k;
                    }
                }
            }
        }
    }

    cout << f[1][n] << endl;
    dfs(1, n);
    return 0;
}

思路：
一道不难理解的区间dp，不过需要了解下 前序/中序/后序 遍历。
(可以看“Monster_ii大佬的二叉树的前中后和层序遍历详细图解”)
还有就是要保存下每次的最优解，最后dfs输出，这都比较简单，直接看代码就行。

经典的y式dp法
1.状态表示
f[L][R] 表示所有中序遍历的结果为L到R(包括L和R)的所有二叉树，
属性为Max(得分),

2.状态转移
其实题目里说的挺清晰的了，我们以根节点作为分界线K，左子树和右子树互不影响，
f[L][R] = max(f[L][R], f[L][K-1]*f[K+1][R] + w[K])
当然要注意下如果为子树为空的时候，分数视作1。

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声明：
算法思路来源为y总，详细请见https://www.acwing.com/
本文仅用作学习记录和交流