C++基础算法前缀和和差分篇

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主要讲解了前缀和和差分算法

Ⅳ. 前缀和 和 差分

Ⅵ .Ⅰ前缀和

① 一维前缀和：

​ 就是构建一个新的数组s，用来存储另一个数组的和前i个数组元素的和。用公式表达就是：
$$S[i]=a[0]+a[1]+....a[i]$$
​ 这个结果我们用一次遍历就可以得到(我们的S只从1开始算起，为了方便后面的计算)

for(int i = 1; i < a.size(); ++i)
{
	s[i] = s[i - 1] + a[i];
}

具体的应用就是我们可以快速得到数组一个区间[l,r]内元素的和。
$$s[l,r]=s[r]=s[l-1]$$
对应题目：

B3645 数列前缀和 2 - 洛谷

②二维前缀和：

二维数组的前缀和就是相当于把一位数组的前缀和拓展成二维数组的前缀和。

那么我们计算s[i]的表达式为：
$$s[i][j]=s[i][j-1]+s[i-1][j]-s[i-1][j-1]+a[i][j]$$
那么我们计算一个子矩阵[[i,l],[j,r]]的公式为
$$s[[i,l][j,r]]=s[l][r]-s[i-1][r]-s[l][j-1]+s[i-1][j-1]$$
代码：

#include
#include
using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    int n, m, q;
    int x1, x2, y1, y2;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, & q);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    //计算前缀和
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];

    while (q--)
    {
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d",(s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]));
    }
}

Ⅳ. Ⅱ 差分

① 一维差分

首先我们明确一个原则**差分是前缀和的逆运算,首先我们构建一个数组b和一个数组a，那么我们将b数组的前缀和存储在a数组中，我们这时候称b数组就是a数组的差分**a就是b的前缀和。

不难发现差分有这样一个性质：

在a[l, r]加上一个常数c等价于b[l] += c 和b[r + 1] -= c.

这个性质非常的重要因为我们可以将a数组中的一些O(N)的操作降为b数组中O(1)的操作；

如下例题：

代码：

#include
#include
using namespace std;

const int N = 1000010;

int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    //利用性质算出差分
    for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);

    
    while (m--)
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }

    //通过b计算经过操作后产生的a
    for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] += b[i - 1];

    for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", b[i]);
    return 0;
}

②二维差分（差分矩阵）

差分矩阵和上面的一维差分的思路差不多，首先我们构建一个矩阵b和一个矩阵a，那么我们将b矩阵的前缀和存储在a矩阵中，我们这时候称b矩阵就是a矩阵的差分a就是b的前缀和。

性质上也是类似的，但是略有不同：

在a[[x1, x2],[y1,y2]]加上一个常数c等价于:
$$\begin{gathered} b[x1,y1]+=c \\ b[x2,y1]-=c \\ b[x1,y2]-=c \\ b[x2,y2]+=c \end{gathered}$$
例题：

代码：

#include
#include
using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2  +1] -= c;
    b[x2 + 1][y2  +1] += c;
}

int main()
{
    int n, m, q;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    //利用性质构造差分
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    //计算前缀和矩阵
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];

    cout << endl;

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            printf("%d ", b[i][j]);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

到这本篇博客的内容就到此结束了。
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