复数的基本知识

复数的基本知识

前言

这里只有一点点关于复数的知识，主要是最近的FFT要用到。

表示方法

百度百科

我们把形如 a+bi （a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位 。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

简单来说：

我们定义： $i^2=-1$ ， 一个复数 $z$ 可以表示为： $z=a+bi(a,b\in R)$

其中 $a$ 为 实部 ， $b$ 为 **虚部 ** ，$i$ 为 虚数单位

​ 比如：$\sqrt{-5}=\sqrt{5}i$

我们还可以把复数表示为 复平面 直角坐标系上的一个点，比如下面：

​ 其中 $x$ 轴表示实数， $y$ 轴表示虚数。

这个点 $(2,3)$ 表示的 复数 就是 $2+3i$ ，或者想象它代表的向量为 $(2,3)$

我们还可以把它表示成 $(\sqrt{13},\theta )$

一个复数 $z=a+bi$ 的共轭复数为 $a-bi$ （虚部取反）

复数的运算

复数不像点或向量，它和实数一样可以进行四则运算

复数相加满足 平行四边形法则

复数相乘满足 模长相乘，极角相加

设两个复数分别为 $z_1=a+bi,z_2=c+di$ ，那么
$$\begin{gathered} z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \\ {z}_1+z_2=(zc-bd)+(ad+bc)i \\ (a_1,{\theta }_1)\ast (a_2,{\theta }_2)=(a_1{a}_2,{\theta }_1+{\theta }_2) \end{gathered}$$