贝叶斯滤波（一）二维连续型随机变量的条件分布函数与贝叶斯公式

一. 二维离散型随机变量的条件分布

已知(X, Y)是二维离散型随机变量，其联合概率函数为

        

对于给定的，则有在的条件下随机变量X的条件概率函数：

        

通过全概率公式对分母进行展开，可得离散型随机变量的贝叶斯公式：

        

看到这里，有许多人就会说由于X, Y的分布是离散的，所以在分母处用的是求和符号，而如果X, Y的分布是连续的，就可以

把分母处换成积分符号，然后就能得到连续型随机变量的贝叶斯公式：

        

是这样的吗？请往下看，虽然结论是对的，但是需要经过一定量的推导才能得出，直接类比过去是没有根据的。

二. 二维连续型随机变量的条件分布

给定的的情况下，随机变量X的条件分布函数记为：

        

在这里我们跟二维离散型进行一个类比，如果把连续型随机变量X的条件分布也写成离散型的格式：

        

由于Y是一个连续型随机变量，在时，发生的概率为0，所以通过条件概率的定义进行

求解连续型随机变量的条件分布是走不通的，是无法进行条件概率计算的。

但是我们可以通过极限的做法做一点变形来进行求解，假设，这样就把问题从连续型随机变量在一点Y =

的概率转化为连续型随机变量在这个区域内的概率分布函数：

        

                             

根据联合分布函数与联合概率密度函数关系可知，对联合概率密度函数进行二重积分可得联合分布函数，此处设联合概率密度函数为;

根据边缘分布函数与边缘概率密度函数关系可知，对边缘概率密度函数进行一重积分可得边缘分布函数，此处设边缘概率密度函数为.

                                     

（根据积分中值定理可知，存在一个点，可以将含有形式的积分等效为乘积的方式，即等效为这种形式）

                                     

分子分母同时约掉一个

                                     

因为，且是连续随机变量，所以把，代入式子

                                     

推导到此处，可以看到积分处仅剩分子对从到对进行积分，分母里面不含有的变量，因此对积分分母可以看做一个常数，所以可以把积分提取出来，最终得到的概率分布函数为

                                     

仔细观察等式左右边，都是关于的函数，而左边是一个分布函数，右边又是对一个关于的函数从到进行积分，对进行积分得到分布函数，因此我们可以得出就为条件下X的条件概率密度函数。

对等式两边同时求导，可得条件下X的条件概率密度函数为

                                     

对上式分母的，可以通过全概率公式展开

                                     

可以看到该式与离散型随机变量的概率分布是非常相似的，但是相似并不代表可以直接类比，可以看到，我们是经过了相对复杂的推导才得出的结论。