斯特林数（数论）

斯特林数：stirling

概念：

1、第一类斯特林数：把1~n排列成k个非空循环的方案数，用小写s(n,k)或[n k]表示

2、第二类斯特林数：将1~n排成k个非空集合的方案数，用大写S(n,k)或{n,k}表示

第一类斯特林数：

递推：

边界s(0,0)=1,s(n,k)=0 (n

组合意义：考虑加入n时，可以自己构成环，后者插入一个之前已有的数的后面，复杂度O(nk)

- 与上升幂、下降幂的关系:

上升幂定义：

$$
\ x^ \bar n=x \times (x+1) \times.....\times(x+n-1)
$$

是一个多项式，有

$$
x^ \bar n=\sum_{k=1}^{n}s(n,k)\times x^k
$$

组合意义：考虑把1~n排成k个非空循环序列，然后将每个环染成[1,x]中的某种颜色，等式右边就是枚举环的数量，然后每个环任意染色，等式左边相当与考虑每次加入一个新点n，若构成一个新环，则有x种染色方法，否则插入1个之前已有的数的后面继承其颜色，那么n个点的总方案数就是上升幂

下降幂定义：

$$
x^\bar n=x(x-1)....(x-n+1)
$$

是一个多项式，有：

$$
\ x^\bar n=\sum_{k=1}^{n} \left(-1\right)^ \left(n-k\right)\times s(n,k)\times x^k
$$

• 性质：

  $$
  s(n,1)=(n-1)!
  $$

   

  $$
  s(n,2)=(n-1)!\times\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}
  $$

   

  $$
  n!=\sum_{k=0}^{n}s(n,k)
  $$

   

  最后一条的组合意义：任意1个排列可以看成一个置换，那么枚举置换中环的数量然后求和就是全排列

s(n,k)	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6
n=0	1
n=1	0	1
n=2	0	1	1
n=3	0	2	3	1
n=4	0	6	11	6	1
n=5	0	24	50	35	10	1
n=6	0	120	274	225	85	15	1

第二类斯特林数：S(n,k)

递推：

$$
S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\times S(n-1,k)
$$

边界S(0,0)=1,S(n,k) = 0(n

组合意义：考虑加入n时，可以自己构成一个集合，或者插入一个1之前已有的集合，复杂度O(nk)。第二类斯特林数也可以用小球模型来描述，其对应：n个不同的球，放进k个相同的盒子，不能有空盒子的方案数

• 与下降幂之间的关系：

  $$
  x^n=\sum_{k=0}^{n}\times x^\underline k
  $$

   

  组合意义：给1~n每个数染[1,x]中的某种颜色，方案数为左边x^n右边枚举一共有k种不同的颜色，把1~n分成k个集合（S(n,k)）然后每个集合一次染色

• 通项公式（容斥）：

  $$
  S(n.k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}\times s(n,i)\times\left(n-k\right)^n
  $$

   

  组合意义：考虑“n个不同的球，放进k个不同的盒子，可以有空盒子的方案数”，其显然等于k^n。若不能有空盒子，则枚举空盒子的数量i然后容斥，即“n个不同的球，放进k个不同盒子，有至少i个空盒子”的方案数=s(n,i)*(k-i)^n,容斥系数为(-1)^i，最后再除以k！时把盒子不同转化为盒子相同，利用这个容斥可以实现O(nlogn)计算一个S(n,k)

  • 与自然数幂和的关系

    定义：

    $$
    F(n)=\sum_{i=1}^{n}i^k
    $$

     

    暴力计算时间复杂度O(nlogk)

  • 使用第二类stiring数转化为下降幂：

    $$
    F(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{k}S\{k,j\}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{k}S\{k,j\}j!s(i,j)
    $$

     

    $$
    F(n)=\sum_{j=0}^{k}j!\sum_{i=j}^{n}s(i,j)
    $$

     

    这个式子和n相关的杨辉三角上一列求和，等于右下角

    $$
    F(n)=\sum_{j=0}^{k}S\{k,j\}j!s(n+1,j+1)
    $$

     

    这个式子仅枚举k如果O(k^2)预处理S(k,j)那么可以在O(klogk)时间求解上F(n)

S(n,k)	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6
n=0	1
n=1	0	1
n=2	0	1	1
n=3	0	1	3	1
n=4	0	1	7	6	1
n=5	0	1	15	25	10	1
n=6	0	1	31	90	65	15	1