数字角频率——连续时间信号与离散时间信号的桥梁

前言

公式 ω=ΩT 在信号与系统中就曾出现，在数字信号处理课程中更会常常碰到，其中ω是数字角频率，Ω是模拟角频率，T是采样周期；
这个既熟悉又陌生的公式是什么推导得出的，又有着怎样的物理含义？

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我们可以发现：ω=ΩT好似一座桥梁，将模拟信号与数字信号通过采样联系起来，因此要想搞清楚各个频率的关系，我们应从连续时间信号的采样谈起。

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一、采样周期

其中xc(nT)是连续时间信号每隔时间T采样一次，得到的离散信号。T为采样周期，1/T = fs是采样率，特别注意：采样率不是2π/T。

二、理想采样——冲激串采样

1.周期冲激串采样

利用冲激函数的筛选性质

采样后的信号：

采样后的信号可看作离散信号，时间归一化

xs(t)和x[n]本质上是同一个信号，只是从连续和离散两个不同的角度来看待采样信号。

三、从频域看采样信号

1.采样信号（连续）的CTFT

对xs(t)进行傅里叶变换可得：

2.采样信号（离散）的DTFT

对x[n]进行傅里叶变换可得：

3.用采样信号的CTFT表示DTFT

由此可得到公式：ω=ΩT

四、物理意义

1.频率轴归一化

“X(e^jω)是Xs(jΩ)进行频率尺度变换的结果，频率尺度因子由ω=ΩT给出”——《离散时间信号处理（第三版）》奥本海姆著。
这句话有些抽象，个人的理解是：采样过程可将原连续信号的模拟频率[0, 2π*fs]映射到离散信号的数字频率[0, 2π]。也就是频率轴被因子fs归一化。

2.时间轴归一化

xs(t)在样本之间保持着一个与采样周期T相等的样本间隔；x[n]序列值的间隔总为1。也就是说，时间轴被因子T归一化。

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总结

本篇blog推导了数字角频率和模拟角频率与采样周期的关系，数字角频率是数字信号处理的基本概念之一，理解了数字角频率对之后学习数字滤波器很有帮助。