泛函分析笔记1：距离空间

最近在看泛函分析，感觉泛函分析概念众多，在阅读的时候记录一些重要的概念，方便自己随时查阅。

1. 距离空间：$X$是任一非空集合，若对于$X$中的任何两点$x$,$y$，均有一个实数$d(x,y)$与它对应，满足①$d(x,y)\ge 0$(非负性)；②$d(x,y)=0$当且仅当$x=y$(严格正)；③$d(y,x)=d(x,y)$(对称性)；④$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$(三角不等式)。则称$d(x,y)$为$X$中的一个距离，定义了距离$d$的集合称为距离空间，记为$(X,d)$，有时简单记作$X$。

2. 开球：$(X,d)$是一个距离空间，$r>0$，$B\left(x_0,r\right)=\left\{x\in X\mid d\left(x,x_0\right)<r\right\}$，以$x_0$为中心，以$r$为半径。

3. 闭球：$(X,d)$是一个距离空间，$r>0$，$\bar{B}\left(x_0,r\right)=\left\{x\in X\mid d\left(x,x_0\right)\le r\right\}$，以$x_0$为中心，以$r$为半径。

4. 球面：$(X,d)$是一个距离空间，$r>0$$S\left(x_0,r\right)=\left\{x\in X\mid d\left(x,x_0\right)=r\right\}$，以$x_0$为中心，以$r$为半径。

5. 有界集：$X$是一个距离空间，$A\subset X$，若存在开球$B(x_0,r)$，使得$A\subset B(x_0,r)$，则称$A$是有界集。

6. 内点：$X$是一个距离空间，$G\subset X$，对$x_0\in G$，若存在开球$B(x_0,r)$，使得$B(x_0,r)\subset G$，则称$x_0$为$G$的内点。

7. 开集：$X$是一个距离空间，$G\subset X$，若$G$的每一点都是内点，则称$G$是开集。对$x\in X$，包含$x$的任意一个开集称为$x$的一个邻域。

   • 全空间和空集都是开集。
   • 任意多个开集的并集是开集。
   • 有限多个开集的交集是开集。

8. 连续映射：$(X,d)$和$(X_1,d_1)$是距离空间$T:X\to X_1$是一个映射$x_0\in X$，如果对于任给的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$,当$d(x,x_0)<\delta$有$d_1(T(x),T(x_0))<\epsilon$，则称$f$在$x_0$连续，若在$X$中的每一点都连续则称$T$在$X$上连续。

   • $T$是连续的充要条件：$(X_1,d_1)$中任何开集的原像仍然是$(X,d)$中的开集。
   • $T$在$x_0$是连续的充要条件：对每个满足条件$\lim x_n=x_0$的点列有$\lim T\left(x_n\right)=T\left(\lim x_n\right)$。

9. 等距映射：$d(x,y)=d_1(T(x),T(y)),\forall x,y\in X$，称$T$为等距映射。

10. 闭集：$X$是一个距离空间，一个集合$A\subset X$是闭的，如果它的补集$A^c=X\backslash A$是开的。

    • 全空间和空集是闭集。
    • 任意多个闭集的交是闭集。
    • 有限个闭集的并是闭集。

11. 接触点：$X$是一个距离空间，$A\subset X$，$x\in X$，如果$\forall \epsilon >0$，球$B(x,\epsilon )$中都包含$A$中的点，即$B(x,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$，则称$x$为$A$的接触点。

    • $A$的接触点可能属于$A$，也可能不属于$A$（$A$里面挖掉一点）。
    • $A$中的点一定是$A$的接触点。

12. 聚点：$X$是一个距离空间，$A\subset X$，$x\in X$，如果$\forall \epsilon >0$，球$B(x,\epsilon )$中都包含$A$中不同于$x$的点，即$B(x,\epsilon )\cap (A\setminus \{x\})\ne \varnothing$，则称$x$为$A$的聚点。

    • $A$中的聚点一定是$A$的接触点，反过来不是。

13. 闭包：$X$是一个距离空间，$A\subset X$，则$A$的接触点的全体称为$A$的闭包，记为$\overline{A}$。因为

    • $A$中的点一定是$A$的接触点，所以$A\subset \overline{A}$
    • $X$是一个距离空间，$A\subset X$，则$A$是闭集的充要条件是$A=\overline{A}$。
    • $X$是一个距离空间，$A\subset X$，则$A$是闭集当且仅当$A$中收敛点列$\{x_n\}\subset A$的极限属于$A$。也即闭集里的极限运算是封闭的。

14. 点到集合的距离：$X$是一个距离空间，$A\subset X$,$x\in X$，称$d(x,A)=\inf \{d(x,\omega )|\omega \in A\}$为点$x$到集合$A$的距离。

    • $\overline{A}=\{x|d(x,A)=0\}$。
    • $\overline{A}$是包含$A$的最小闭集。

15. 稠密集：设$A$, $B$是距离空间$X$中的点集，如果$\overline{B}\supset A$，称$B$在$A$中稠密。（没有要求$B\subset A$）

16. 可分距离空间：$X$是一个距离空间，如果$X$存在一个可数稠密子集，则$X$是可分的。对于子集$A\subset X$，如果$X$存在可数子集$B$，使得$B$在$A$中稠密，则$A$是可分的。

17. 列紧集：$X$是一个距离空间，如果$X$的每一个无穷点列都有一个收敛的子列，则$X$是列紧的。若$A\subset X$，如果$A$的每一个无穷点列都有一个收敛的子列，$A$集合是列紧的。

18. 自列紧集：闭的列紧集是自列紧的。

    • 列紧集的子集是列紧的。
    • 集合$A$是自列紧的，收敛子列的极限必须在$A$中。

19. 有界集：$X$是一个距离空间，$A\subset X$是列紧集，则$A$是有界集。

    • 自列紧集是有界闭集。
    • 在一般的距离空间里，有界的闭集不一定是列紧的。
    • 设$f$是定义在列紧的距离空间$(X,d)$的实值连续函数，则$f$是有界的：$M=\sup \{f(x)|x\in X\},m=\inf \{f(x)|x\in X\}$都是有限的，进一步存在$x_{\max }$和$x_{\min }$使得$f(x_{\max })=M,f(x_{\min })=m$。
    • (Arzelà定理)$C(a,b)$中的子集$A$是列紧的充要条件是$A$中的函数一致有界和等度连续。

20. Cauchy列：$(X,d)$是一个距离空间，$\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subset (X,d)$，若对任意的$\epsilon >0$，存在正整数$N$，当$m,n>N$，有$d(x_n,x_m)<\epsilon$，则$\{x_n\}$是一个Cauchy列

    • $\{x_n\}$是距离空间$(X,d)$的Cauchy列，则集合$\{x_1,x_2,\cdots \}$是有界的。
    • 收敛的点列一定是Cauchy列。但在一般的距离空间里Cauchy列不一定收敛。

21. 完备空间：距离空间$(X,d)$的任意Cauchy列在$X$中都收敛，则距离空间$X$是完备的。【有了完备性才好进行极限运算（微积分），并且判断点列的收敛性仅需要判断它是否是Cauchy列】

    • 完备空间的任何一个闭子空间都是完备的。
    • 列紧空间一定是完备的。
    • $X$是一个距离空间，$\{x_n\}$是$X$中的Cauchy列，如果$\{x_n\}$有一个子列$\{x_{n_k}\}$收敛到$x_0$，则$\{x_n\}$也收敛到$x_0(n\to \infty )$

22. 距离空间的完备化：做闭包，加入所有原来空间没有的Cauchy列的极限进行扩展。

    • 任何距离空间$(X,d)$都存在一个完备的距离空间$(\tilde{X},\tilde{d})$，使得$(X,d)$和$(\tilde{X},\tilde{d})$的一个稠子空间等距，在等距的意义下，这样的空间$(\tilde{X},\tilde{d})$是唯一的，称$(\tilde{X},\tilde{d})$是$(X,d)$的完备化空间。

23. 闭球套定理：$X$是一个完备的距离空间，${\overline{B}}_n=\overline{B}(x_n,r_n)(n=1,2,\cdots )$是$X$的一系列闭球套：${\bar{B}}_1\supset {\bar{B}}_2\cdots \supset {\bar{B}}_n\supset \cdots ,$，且$r_n\to 0(n\to \infty )$，则存在$X$中唯一的一点$x\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{\bar{B}}_n$

24. 压缩映射定理(Banach不动点定理)：设$(X,d)$是完备的距离空间，$T:X\to X$，如果对于任意的$x,y\in X$，不等式$d(Tx,Ty)\le \theta d(x,y)$成立，其中$0<\theta <1$，则存在唯一的$\overline{x}\in X$，使得$T\overline{x}=\overline{X}$.

    • 设$(X,d)$是完备的距离空间，$T:X\to X$，如果存在正整数$n_0$，使得对所有的$x,y\in X$，有$d(T^{n_0}x,T^{n_0}y)\le \theta d(x,y)$成立，其中$0<\theta <1$，则存在唯一的$\overline{x}\in X$，使得$T\overline{x}=\overline{X}$.
    • (Brouwer)设$B$是$R^n$中的闭单位球，设$T:B\to B$是一个连续映射，则$T$必有一个不动点$x\in B$。
    • (Schauder)设$C$是线性赋范空间$X$中的一个闭凸子集，$T:C\to C$，连续且
      $T(C)$紧致，则$T$在$C$上必有一个不动点。

强调点到集合的思想：任意点成立，推广到集合的层面。