剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列

剑指 Offer 33. 二叉搜索树的后序遍历序列

题目：输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考以下这颗二叉搜索树：

  	5
   / \
  2   6
 / \
1   3

示例 1：

输入: [1,6,3,2,5]
输出: false

示例 2：

输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

问题分析

方法一：递归分治。本题是判断二叉搜索树的后序遍历 （左右根） 结果是否与题目所给的数组一致，我们首先想到的是递归分治方法。这里分两步解决：
1.划分左右子树
2.采用递归的方法依次判断左右子树是否符合后序遍历。
方法二：辅助单调栈。我们可以转换到后序遍历倒序（根右左），我们可以观察这个后序遍历倒序的规律，比如题中的后续遍历倒序应该是[5,6,2,3,1]。
规律一升序可以看到挨着的两个数如果arr[i] 规律二降序如果arr[i]>arr[i+1]，那么arr[i+1]一定是arr[0]……arr[i]中某个节点的左子节点，并且这个节点的值是大于arr[i+1]中最小的。比如[5,6,2],2前面的所有节点且大于2的最小节点是5，则2是5的左子节点。同理[2,3,1]中，1是2的左子节点。
根据上面分析的过程，很容易想到使用栈来解决。遍历数组的所有元素，如果栈为空，就把当前元素压栈。如果栈不为空，并且当前元素大于栈顶元素，说明是升序的，那么就说明当前元素是栈顶元素的右子节点，就把当前元素压栈，如果一直升序，就一直压栈。当前元素小于栈顶元素，说明是倒序的，说明当前元素是某个节点的左子节点，我们目的是要找到这个左子节点的父节点，就让栈顶元素出栈，直到栈为空或者栈顶元素小于当前值为止，其中最后一个出栈的就是当前元素的父节点。

方法一：方递归分治解析

递归工作
1.划分左右子树：根据二叉树后序遍历的性质，遍历整个二叉树的 [ i , j ] 区间，我们可以找到第一个大于二叉树root点值的节点m，可以划分出左子树 [ i , m-1 ] ,右子树 [ m , j-1],其中 j 为二叉树的root节点。
2.判断左子树[ i , m-1 ]：节点内的数值都应该1.划分左右子树已经完成，无需多余判断。
判断右子树[ i , m-1 ]：节点内的数值都应该>root节点的数值。我们可以定义一个整数P=i，如果符合左右子树条件，则依次累加，如果一直累加到P=j，则说明所有左右子树都符合。

终止条件：如果i>=j,则说明节点数<=1，无需判断是否符合条件，直接返回True。
返回值：所有子树符合条件才能返回True，所以用 and 进行连接。
1.P=j，判断此树是否正确。
2.recur（i，m-1）判断左子树是否正确。
3.recur（m，j-1）判断右子树是否正确。

复杂度分析

时间复杂度 O(N²)：递归占用O(N),最差情况下（树退化成链表），每轮递归需要遍历树所有节点，再占用O(N)。
空间复杂度 O(N)：最差情况下（即当树退化为链表），递归深度将达到O(N) 。

Pyhon代码

class Solution:
    def verifyPostorder(self, postorder: List[int]) -> bool:
        #定义数组postorder左右两个边界
        i,j=0,len(postorder)-1
        #定义递归函数
        def recur(i,j):
            #终止条件，如果节点数<=1，返回True
            if i >= j :return True
            #定义一个从左到右的累加整数
            p=i
            #左子树符合，p累加
            while postorder[p]<postorder[j]:p+=1
            #左右子树划分边界
            m=p
            #右子树符合，p累加
            while postorder[p]>postorder[j]:p+=1
            #1.P=j，判断此树是否正确。2.recur（i，m-1）判断左子树是否正确。3.recur（m，j-1）判断右子树是否正确。
            return p==j and recur(i,m-1)and recur(m,j-1)
        return recur(i,j)

方法二：辅助单调栈

1.初始化： 单调栈 stackstack ，父节点值 root = +∞（初始值为正无穷大，可把树的根节点看为此无穷大节点的左孩子）；
2.倒序遍历： postorde[i] ：记每个节点为ri。
1)判断：若ri>root,说明不满足后序遍历的性质，返回false
2)跟新父节点root:满足栈不为空且 ri 3)入栈：当前节点ri入栈

复杂度分析

时间复杂度 O(N)：遍历 postorde所有节点，依次入栈/出栈
空间复杂度 O(N)：最差情况下，栈 stackstack 存储所有节点

Pyhon代码

class Solution(object):
    def verifyPostorder(self, postorder):
        """
        :type postorder: List[int]
        :rtype: bool
        """
        #开辟一个栈，一个无穷大的root
        stack,root=[],float("+inf")
        #后序遍历的倒序
        for i in range (len(postorder)-1,-1,-1):
            #如果遍历的节点比root大，不满足后序遍历的性质，则返回false
            if postorder[i]>root:return False
            #更新root
            while stack and postorder[i]<stack[-1]:
                root=stack.pop()
            #节点依次进栈
            stack.append(postorder[i])
        return True