贝叶斯——三门问题

三门问题（蒙蒂霍尔问题）

一道概率论的经典问题

由蒙蒂·霍尔主持的一个叫做《达成协议》的美国电视游戏节目。在节目的最后，参赛者必须在三道门帘中选一道。其中一道门帘之后有一辆汽车，其余两道门帘后面是山羊。

参赛者选择之后，蒙蒂·霍尔会增加悬念：在参赛者没有选择的门帘之中，至少有一道门帘背后是山羊。然后，蒙蒂·霍尔会将这道背后是山羊的门帘打开。

现在剩下两道门帘，其中一道后面有汽车，另一道后面则有山羊。这时，蒙蒂·霍尔就会向参赛者提出一个新选择：他可以维持自己的选择或者换一道门帘。这位参赛者应该怎么做？

直觉

在蒙蒂霍尔打开背后是山羊的门帘前，参赛者选的门帘后是车的概率是1/3，打开一个山羊的门帘后，自然而然会觉得，剩下两个门，一个是山羊，一个是车，那么换不换门，选中车的概率都是1/2。

实际

门和羊的情况

1： 2： 3：

参赛者选择中门1即为选中车，因为参赛者选门1的概率为1/3，所以选中车的概率是1/3

我们看蒙蒂霍尔去掉一个错误答案后发生的变化

参赛者选门i	蒙蒂霍尔去掉一个错误答案	参赛者不换门	参赛者换门
1
2
3

从这里看出来，换门选中车的概率是2/3，而不换门选中车的概率是1/3！

也就是说，除非参赛者第一次选中的就是车，否则只要换门他就是赢的。

试验：

可见，随着试验的次数增多，换门赢的概率逐渐稳定为不换门的两倍。