面试题10- I. 斐波那契数列

斐波那契数列

题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

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示例：

输入：n = 2
输出：1

输入：n = 5
输出：5

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提示：
0 <= n <= 100

转载来源：力扣（LeetCode）

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题目分析

斐波那契数列大概是每位计算机人接触的第一个递归思路的题了吧，这里就不展开讲怎么推导了，直接给出方程：

• n == 0 -> return 0
• n == 1 -> return 1
• else -> fib(n - 1) + fib(n - 2)

这种做法就是典型的递归做法，它很好理解，也很快就能将代码写出来，但是有两个缺点：

1. 重复计算，如下所示，计算fib(4)，需要fib(3)和fib(2)，而fib(3)又需要fib(2)，重复计算了fib(2)
   1.1 fib(4) = fib(3) + fib(2)
   1.2 fib(3) = fib(2) + fib(1)
   1.3 fib(2) = fib(1) + fib(0)

2. int 溢出，在Java里，int是32bit的，其中最高位是符号位，所以int范围是-2147483648~2147483647，在n足够大的时候，int分分钟被爆掉

优化：

• 牺牲空间来换取时间
  对于重复计算的问题，我们可以利用内存来保留先前已经计算的结果，例如fib(4)里求得了fib(2)，在求fib(3)的时候就不要再算一遍fib(2)，直接从内存里获取就好
• 取余式储存
  在这里通过举例子来说明：{
   3、4、5 求和，结果对2取余
   3 mod 2、4 mod 2、5 mod 2，结果求和，再对2取余
  }
  以上结果是一样的，数学证明也很简单，（ax + 1）+（bx + 0）+（cx + 1）的结果就是（a + b + c）x + 1 + 1，其中x就是要取余的数，取余只是早取晚取的区别而已

但是，凡事都有但是，越早取余运算量就越大，计算机系统的知识告诉我们，取余和除法其实是一致的，需要的时钟周期数远远大于加减法，所以计算fab(10)就对每一项结果都进行取余可能会造成过多的性能损耗。

    fun fib(n: Int): Int {
        if (n == 0 || n == 1) return n
        val array = IntArray(n + 1){0}
        array[0] = 0
        array[1] = 1
        for (i in 2 until n) {
            array[i] = (array[i - 1] + array[i - 2]) % 1000000007
        }
        return array[n]
    }