最短Hamilton路径超详细题解

题目描述

给定一张 n(n≤20)个点的带权无向图，点从0∼n−1标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/996/D

来源：牛客网

输入示例1

4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

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题解

首先，哈密尔顿路径是什么？

简单来说是每个点只经过一次连成的图。

输入的样例是个按主对角线对称的矩阵，即点i到点j的距离和点j到点i的距离是一样的，而点i到点i自身的距离为0。

对于本题，我们开一个二维数组

f[已经经过了哪些点][当前在哪个点]=目前路径的长度

• 对于《已经经过了哪些点》这个维度，设0为没经过，1为经过了。

举个例子，我一共有5个点，我已经经过了点3和点4，那么就表示为01100；我只经过了点1，那么就表示为00001

我们的目标是经过所有的点。如果我一共有n-1个点，那我就希望值变成11111...1(n-1个1)，也就是(1<

1<

• 对于《当前在哪个点》这个维度，直接写它当前所在点的十进制数

非常简单，例如当前在点3，那就是f[xxxxx][3]

将上面两个维度结合起来看，举个例子：

一共有5个点，我已经经过了1->4->3这三个点，当前在点3，现在路径的长度是13，则就表示为：

f[01101][3]=13，即f[1101][3]=13

解释完了这个，我们结合代码讲解接下来的题解：

我对一些初学者可能不懂的点都进行了编号和解释。比较费解的地方都进行了加粗。

#include
using namespace std;
int f[1<<20][20],g[20][20];
int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=0;i>g[i][j];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));    //1
    f[1][0]=0;    //2
    for(int i=1;i<1<>j&1){    //5
                for(int k=0;k>k&1){//7
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i^(1<

1. 因为我们f[][]=至目前点的路径长度，我们希望这个值越小越好，所以我们用memset(f, 0x3f, sizeof(f))对它先赋予最大值0x3f，便于之后的比较并寻得最小值。

2. f[1][0]=0，即f[00000...01][0]=0，也就是我们目前在点0，只经过了点0，我们的路径长度为0

3.i<(1<

这个循环的意思即，我们遍历了所有路径的可能性，举个例子，当n为5时，我们从00001、00010、00011、00100、00101、00110、00111……一直遍历到了11111

4.我们遍历了在i情况下，j作为当前点的可能性，编号4和编号5应该结合起来看。

编号5的意思是，让i退j位，看j这位上是不是1。例如100101退3位，与1做相与运算，发现第3位上是1。也就是j可以作为当前所在点。如果j为0，它根本不在路径里，怎么可能做当前所在点呢？

对于1001011，我们遍历0到6号点，当前所在点只可能是第0、1、3、6号点。我们分别枚举它们做当前所在点的情况。这就是编号4、5代码的意思。

6.我们把编号6，7，8结合起来看

我们先理思路，再理代码。

思路

意思是在走到j前一个步骤时，我在点k。我需要知道从k到j是不是一个好主意。

例如1001011这个数，是经过了0，1，3，6号点的意思。我把j遍历到点3时，我需要知道到底是1->3好还是6->3好。如果是6->3，那f[1001011][3]=f[1000011][6]+g[6][3]

如果是1->3，那就是f[1001011][3]=f[1000011][1]+g[1][3]

我们需要知道f[1001011][3]=min(f[1000011][1]+g[1][3],f[1000011][6]+g[6][3])，选出最佳的那个连法。

代码

6：从0到n遍历点k

7：i^(1<

10101^(1<<2)=10101^100=10001

^为亦或，同为0，异为1。所以只会使第j位的数置0.

i^(1<>k&1，同编号5的操作，确保k是在经过的点里的。

8：选出最短的那条路。

9.(1<

我们再看一遍代码：

#include
using namespace std;
int f[1<<20][20],g[20][20];
int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=0;i>g[i][j];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));f[1][0]=0;
    for(int i=1;i<1<>j&1){
                for(int k=0;k>k&1){
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i^(1<

是不是思路清晰了很多呢？

那再把总的思路通过例子过一遍吧！

为了方便，就不同代码中把0作为第一个点了。我们把1作为第一个点。

设n=4，而输入的g[i][j]为

0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

把f全部置0x3f

我们的i枚举0001，0010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111这几个情况

0001

0010

0011=0001+(1,2) or 0010+(2,1)?

0100

0101=0100+(3,1) or 0001+(1,3)?

0110...

0111=0110+(3,1) or 0110+(2,1) or 0101+(3,2) or 0101+(1,2) or...?

.....

1111=1101+(1,2) or 1101+(3,2) or..... or 1011+(1,3) or 1011+(4,3) or....?

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我是按照《算法竞赛进阶指南》进行题目练习的，争取每天出一题很笨很详细的题解，把思路都讲清楚。感兴趣的朋友可以关注我，也欢迎指出我的不足。