2023“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（2）SPY finding NPY

题目描述

最近，$\text{SPY}$ 已经退出了 $\text{XCPC}$（中国大学生编程竞赛）。但他零开始学习算法并赢得 $\text{ICPC}$（国际大学生编程竞赛）金牌的回忆仍然历历在目，所以他正在寻找一个青年作为他的学徒，取得金牌。$\text{SPY}$ 非常受欢迎，有 $n$ 个青年想成为他的学徒。由于 $\text{SPY}$只需要一个学徒，所以他给这些青年设置了一个测试。

规则如下：

这些青年从 $1$ 到 $n$ 编号。$\text{SPY}$ 将按顺序面试这些青年，第 $i$ 个青年将在第 $i$ 个面试中接受测试。每个青年面试结束后，$\text{SPY}$ 会得到他/她的智商指数（$\text{IQ}$，一个范围在 $[0,2023^{2023^{2023}}]$ 的整数），$\text{SPY}$ 可以决定是否接受他/她。一旦他接受了一个青年，测试就结束了，他不会再面试接下来的青年。一旦他拒绝了一个青年，他就不会再给他/她机会。

注意，没有两个青年具有相同的 $\text{IQ}$。$\text{SPY}$ 有一种特殊的策略来找到一个 $\text{IQ}$ 高的青年。他在测试之前设置一个整数 $k$ $(0\le k<n)$。

1、无论前 $k$ 个青年有多聪明，他们都会被拒绝。$\text{SPY}$ 会记录前 $k$ 个青年中的最高 $\text{IQ}$ 数值 $x$。如果 $k=0$，则 $x=-1$。

2、然后他将面试第 $k+1$ 到 $n-1$ 个青年。一旦 $\text{SPY}$ 面试到一个 $\text{IQ}$ 高于 $\text{x}$ 的青年，他会接受他/她并结束测试。

3、如果没有青年被接受，$\text{SPY}$ 将接受第 $n$ 个青年。

这些青年的 $\text{IQ}$ 排名是随机的，也就是说他们的排名是 $1$ 到 $n$ 的一个排列，并且 $n!$ 种可能的情况发生的概率相等。尽管 $\text{SPY}$ 是一个算法大师，但是他还是很难设定数字 $k$。请你帮助他设定一个数字 $k$，使得他选择最大 $\text{IQ}$ 青年的概率最大。

题解

考虑 $k$ 确定时的概率。$k=0$ 时，概率为 $\frac{1}{n}$。

否则，枚举 $\text{IQ}$ 最高的人的位置 $i\in (k,n]$。他在这个位置的概率是 $\frac{1}{n}$。

按照题目要求，要使位置 $i$ 前面 $\text{IQ}$ 最大的人的位置小于等于 $k$。这样的概率是 $\frac{k}{i-1}$

总的概率是 $\sum _{i=k+1}^n\frac{k}{n(i-1)}=\frac{k}{n}\sum _{i=k}^{n-1}\frac{1}{i}$

由于 $\frac{k}{n}$ 是递增的，$\sum _{i=k}^{n-1}\frac{1}{i}$ 是递减的。所以这个概率是单峰函数。可以用三分求出使其最大的 $k$。

当然 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$ 近似于 $\ln n$，概率可以近似看作 $\frac{k}{n}\ln \frac{n}{k}$，经过求导发现 $k$ 取 $\frac{n}{e}$ 时最大。

因为有误差，所以要在 $\frac{n}{e}$ 左右都试一遍，取最优的。

下面的代码是求导代码

代码

#include
using namespace std;
const double e=exp(1);
int n;
double a[10001];
double f(int x)
{
    if(!x) return 1.0/n;
    return 1.0*x/n*(a[n-1]-a[x-1]);
}
int main()
{
    for(int i=1;i<=10000;i++) a[i]=a[i-1]+1.0/i;
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        double maxn=0;
        int ans=0;
        for(int i=max(0,int(n/e-1));i<=min(n-1,int(n/e+1));i++){
            if(maxn<f(i)){
                maxn=f(i);
                ans=i;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}