acwing基础课——快速幂

由数据范围反推算法复杂度以及算法内容 - AcWing

常用代码模板4——数学知识 - AcWing

基本思想:

     求一个数的n次时,我们的时间复杂度为O(n),当n特别大时,效率会很低可能超时,此时我们就需要运用到快速幂,将我们的时间复杂度降低到O(log n)。快速幂的核心思想是,我们预处理一些数据,然后将a^k用我们预处理的数据组合出来,即将a^k拆成若干个预处理的值,我们将k转化为二进制表示,就可以得到我们所需要的数据。

       那么 为什么快速幂的时间复杂度为O(log n)呢?因为我们首先要预处理出log k个数据,对于a的k次方,我们预处理a的2^0,a的2^1,....,a的2^log k,并且可以看出每一个数都是前一个数的平凡,我们直接累积就可以处理出来。

acwing基础课——快速幂_第1张图片

         然后,我们如何将a^k拆成我们预处理的值呢?我们可以将a^k拆成a的2^x1, .... ,a的2^xt的乘积,也等于a的2^x1 + 2^x2 + ... + 2^xt,这样我们就可以发现,我们将k转化成二进制,将对应1的预处理好的数据进行计算即可。这样我们只用花费O(log n)预处理数据,O(1)计算就可以得出答案。

acwing基础课——快速幂_第2张图片

         示例,4^5 mod 10, 我们预处理出 4 的 2^0, 4的2^1,4的2^2,然后将4^5拆解,5的二进制表示为101,即取出4 的 2^0和4的2^2相乘得到结果。acwing基础课——快速幂_第3张图片

 875. 快速幂 - AcWing题库

给定 n 组 ai,bi,pi,对于每组数据,求出 ai ^ bi mod pi 的值。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行,每行包含三个整数 ai,bi,pi。

输出格式

对于每组数据,输出一个结果,表示 ai ^ bi mod pi  的值。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n≤100000,
1≤ai,bi,pi≤2×1e9

输入样例:

2
3 2 5
4 3 9

输出样例:

4
1
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int b, int p)
{
    LL res = 1 % p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a, k, p;
        cin >> a >> k >> p;
        cout << qmi(a, k, p) << endl;
    }
    return 0;
}

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

acwing基础课——快速幂_第4张图片

         快速幂加上费马定理(假如p是质数,且gcd(a,p)=1(a和p互质),那么 a^(p-1)  ≡ 1(mod p),即 ( a^(p-1) )%p = 1)的运用,无解的情况为两数不互质,即a为p的倍数,否则我们一定可以通过费马定理构造出来一个解

acwing基础课——快速幂_第5张图片

acwing基础课——快速幂_第6张图片

给定 n 组 ai,pi,其中 pi 是质数,求 ai 模 pi 的乘法逆元,若逆元不存在则输出 impossible

注意:请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行,每行包含一个数组 ai,pi,数据保证 pi 是质数。

输出格式

输出共 n 行,每组数据输出一个结果,每个结果占一行。

若 ai 模 pi 的乘法逆元存在,则输出一个整数,表示逆元,否则输出 impossible

数据范围

1≤n≤1e5,
1≤ai,pi≤2∗1e9

输入样例:

3
4 3
8 5
6 3

输出样例:

1
2
impossible
#include
#include

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int b,int p)
{
    LL res = 1;
    
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (LL) res * a % p;
        b >>= 1;
        a = (LL) a * a % p;
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a,p;
        cin>>a>>p;
        if(a % p == 0) cout << "impossible" << endl;
        else cout << qmi(a,p - 2,p) << endl;
    }
    
    return 0;
}

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