快速幂算法

问题引入

考虑如下问题：计算a的b次方

当然这个结果可能会很大，哪怕是long long类型也存不下。所以我们对计算结果做一个约束，比如说后3位，即求a的b次方的后3位。

正常人的思路应该是一个for循环累乘，用代码展现就是下面这个样子：

int power(int a, int b)
{
    //利用循环，这是最基础的写法，最慢
    int sum = 1;
    for (int i = 1; i <= b; i++)
        sum = sum * a % mod;
    return sum;
}

其中，mod是模数，可以根据需求取后几位。显然，这个方法的时间复杂度为$O(b)$。当b很大的时候这个算法的性能就略显不足了。

快速幂基本原理

怎么优化呢？这就要用到二分的思想了：$a^b$可以这样计算$(a^2{)}^{b/2}$，这样一来b的值就减小了一半，节约了一半的时间。如果底数继续平方，指数继续减半，这样就能把时间复杂度降到$O({\log }_{2}b)$。当然这里有个情况，b不总是2的倍数。当b不是2的倍数的时候，特殊处理一下，单独拿出一个a乘到结果上就好了。代码如下：

int power1(int a, int b)
{
    //快速幂，基本原理
    int sum = 1;
    while (b > 0)
    {
        if (b % 2 == 0)
        {
            //指数为偶数，底数平方一下，指数减半
            a = a * a % mod;
            b /= 2;
        }
        else
        {
            //指数为奇数，拿出一个底数，剩下的就是偶数次了，然后和上面同样操作
            b--; //指数减一，变成偶数
            sum = sum * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b /= 2;
        }
    }
    return sum;
}

这就是快速幂的基本原理了，不过上面这个写法还不够简洁，还不够快。观察上述代码可以发现，a = a * a % mod; b /= 2;这两行代码出现了两次，这是完全没有必要的；还有判断奇偶、除以2可以用位运算来代替。优化后的代码如下：

int power2(int a, int b)
{
    //终极写法，最快
    int sum = 1;
    while (b > 0)
    {
        if (b & 1) //等同于if(b % 2 == 1)
            sum = sum * a % mod;
        b >>= 1; //等同于b/=2
        a = a * a % mod;
    }
    return sum;
}

矩阵快速幂

矩阵快速幂和上面的思想是一样的，只不过上面都是整数的运算，这里进行的是矩阵的运算。矩阵乘法怎么运算参考线性代数。洛谷上有道矩阵快速幂的模板题，可以参考一下：https://www.luogu.com.cn/problem/P3390

下面给出矩阵快速幂的代码：

#include 
#include 

using namespace std;

int n;
const long long mod = 1e9 + 7;
struct arr
{
    long long num[105][105];

    arr()
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
    }
};

arr multiply(arr a, arr b)
{
    // 计算方阵a乘方阵b
    arr res;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            for (int k = 0; k < n; k++)
                res.num[i][j] = (res.num[i][j] + a.num[i][k] * b.num[k][j]) % mod;
    return res;
}

arr power(arr a, long long k)
{
    arr res;
    for (int i = 0; i < n; i++) // 构造单位矩阵
        res.num[i][i] = 1;
    while (k > 0)
    {
        if (k & 1)
            res = multiply(res, a);
        k >>= 1;
        a = multiply(a, a);
    }
    return res;
}

int main()
{
    long long k;
    arr a;
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cin >> a.num[i][j];

    arr res = power(a, k);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cout << res.num[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

斐波那契数列

矩阵快速幂的一个简单应用就是斐波那契数列。斐波那契数列就是形如：1，1，2，3，5，8……的数列。它的数学描述如下：
$$F_n=\{\begin{array}{cc}1& ,n\le 2\\ F_{n-1}+F_{n-2}& ,n\ge 3\end{array}$$
斐波那契数列的增长是很快的，所以我们经常求模来限制结果的长度，例如$F_n\mathrm{mod}10^9+7$。

求斐波那契数列第n项的一个朴素思路就是按照递推公式循环递推下去，其时间复杂度显然为$O(n)$。然而如果能够利用快速幂的思想优化的话，就能够降到$O({\log }_{2}n)$。

考虑斐波那契数列的递推公式为$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，将其矩阵化的话每一项应该是像$\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]$这样的。那么，等式左边也应该变成这样$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]$。问题就变成了找到一个矩阵$X$使得$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]\ast X$成立。显然矩阵$X$应该是两行两列的，即
$$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right]$$
根据矩阵运算规则，$\{\begin{array}{c}{F}_n=x_1{F}_{n-1}+x_3{F}_{n-2}\\ F_{n-1}=x_2{F}_{n-1}+x_4{F}_{n-2}\end{array}$。显然，$x_1,x_2,x_3,x_4$的值都能求出来。所以，矩阵$X=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$。

根据矩阵化的递推公式$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-1}& F_{n-2}\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，将等式右边不断展开，$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{n-2}& F_{n-3}\end{array}\right]\ast {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^2=\dots \dots$
直到$\left[\begin{array}{cc}{F}_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_2& F_1\end{array}\right]\ast {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}$。此时$F_2$和$F_1$都是已知的，都为1，所以问题就变成了求右边矩阵的n-2次方。这就是上面矩阵快速幂的内容。

斐波那契数列在洛谷上也有模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P1962
AC代码如下：

#include 
#include 

using namespace std;

int n = 2;                     // 方阵阶数
const long long mod = 1e9 + 7; // 模数
struct arr
{
    long long num[105][105];

    arr()
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
    }
};

arr multiply(arr a, arr b)
{
    // 计算方阵a乘方阵b
    arr res;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            for (int k = 0; k < n; k++)
                res.num[i][j] = (res.num[i][j] + a.num[i][k] * b.num[k][j]) % mod;
    return res;
}

arr power(arr a, long long k)
{
    arr res;
    for (int i = 0; i < n; i++) // 构造单位矩阵
        res.num[i][i] = 1;
    while (k > 0)
    {
        if (k & 1)
            res = multiply(res, a);
        k >>= 1;
        a = multiply(a, a);
    }
    return res;
}

int main()
{
    arr a;
    long long x; // 第x项
    cin >> x;
    if (x < 3)
    {
        cout << 1 << endl;
        return 0;
    }
    // 递推矩阵赋值
    a.num[0][0] = 1;
    a.num[0][1] = 1;
    a.num[1][0] = 1;
    a.num[1][1] = 0;
    arr res = power(a, x - 2);

    cout << (res.num[0][0] + res.num[1][0]) % mod << endl;
    return 0;
}