不同的二叉搜索树（简单题目+升级题目）

简单题目（只需要返回多少种）：

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例：

输入：n = 3
输出：5 

解题思路：

二叉搜索树关键的性质是根节点的值大于左子树所有节点的值，小于右子树所有节点的值，且左子树和右子树也同样为二叉搜索树。 

本题我们使用动态规划算法来实现，把n个节点的问题，可以看作是更多个小的子问题来解

1.我们用G（n）来表示n个节点一共能组成多少个不同的二叉搜索树

2.fn[i]表示以i为根节点的二叉搜索树的个数

3.当i为根节点时，左子树的节点个数为i-1个，右子树的节点个数为n-i

4.那么fn[i]=G(i-1)*G(n-i)

源代码如下：

class Solution {
public:
    //
    int numTrees(int n) {
        vector fn(n+1,0);
        fn[0]=1;//没有节点，只有一种
        fn[1]=1;//只有一个节点，只能构成一种二叉搜索树
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                //为了节省代码，我们直接用fn[i]代替G(i)
                fn[i]+=(fn[j-1]*fn[i-j]);
            }
        }
        return fn[n];
    }
};

升级题目：（需返回所有的二叉搜索树）

给你一个整数 n ，请你生成并返回所有由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的不同 二叉搜索树 。可以按 任意顺序 返回答案。

输入：n = 3
输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]

解题思路:

使用递归算法来实现本题

 1.在（start,i-1）中递归地选择左子树的根节点，在(i+1,end)中递归地选择右子树的根节点

 2.以当前i为根节点，选择合适的左子树和右子树，组合成一个符合条件的二叉搜索树

3.将当前这个二叉搜索树放进结果数组中即可

源代码如下：

class Solution {
public:
    vector generateTrees(int n) {
      	if(n==0) return {};//没有节点 直接返回空数组
        //起始从（1,n）中选择
        return dfs(1,n);
    }
private:
    vector dfs(int start,int end)
    {
        //当start>end时，返回空
        if(start>end) return {nullptr};
        vector resTree;//结果数组
        for(int i=start;i<=end;i++)
        {
            //构成左子树
           	vector leftTree=dfs(start,i-1);
            //构成右子树
            vector rightTree=dfs(i+1,end);
            //组合二叉搜索树
            for(auto& left:leftTree)
            {
                for(auto& right: rightTree)
                {
                    //创建一个根节点为i的二叉树tempTree
                    TreeNode* tempTree=new TreeNode(i);
                    tempTree->left=left;
                    tempTree->right=right;
                    //将临时结果放入结果数组中
                    resTree.push_back(tempTree);
                }
            }
        }
        //返回结果
        return resTree;
    }
};