第三章一元积分学
第一节 不定积分
原函数
若，则称的原函数
注：
（1）是
（2）
不定积分（不定：全体；积分：原函数）
全体原函数的过程， 称为的不定积分：记作
其中为积分号，为被积函数，为积分n变量，
注：（------------------------------------重点重点--------------------------------------------------------）
（1）；注：d就是微分，微分就是求导，所以在在需要改变，需要注意。
（2）
例题
解法：根据式子，可以看出。这里面的。所以我们要把他变为一样。上面说了是微积分其实就是求导。所以可以看出.所以要在前面加上，即是。最后变为
不定积分的性质
积分与微积分的关系
注：
①、积分 与微积分（求导）互为逆运算， 相遇就抵消
②、最外层求什么，结果就带什么标志：
积分基本公式
例子1
分析，我们先化简为类型是一样的式子来，即是。然后再分开,化简，然后再化简，再化简。
三角函数：（ 次数降1，角度翻倍 ）
例子2
分析 ：一眼就可以看出，我们需要化简的是分子，但是有三种表现形式，究竟用那种。这时候再看看分母就可以得出。应该这样化简化简为。所以
不定积分的计算
第一换元法（凑微分）微分->导数
（1）
看简单的有没有复杂的某一部分导。若是有，那么简单的原函数就是他的微了
（2）常用的凑微分
例一
分析：
例二
分析：
例三
分析：我们把复杂的求导，可以看出分母是比分子复杂的，而且分子也是分母求导后的一部分，所以：
例四
分析：是否能看成一个整体性很重要：
例五
分析。。谁复杂，就谁是导的那个。。所以：
例六
选D，分析：只有导数被积分了，才能得到原式排除AB， 然后再简单计算一下，就可以得到选项D
有理分式积分
（1）分子次数 >= 分母次数 对分子加减项（+1、-1）和分母相消。
例：
（2）分子次数 <分母次数凑微分
例：
例：
= =
（3）分母可因式分解
例1
= ……
例2
=
例3
（4）分母不可因式分解（不能因式分解，就配方）
公式：
例题1：
第二还换元法
（1）含有
例子1
（2）含有两种或两种以上
方法：令
（3三角代换
5、分部积分
公式：
（1）步骤：①根据”反对幂三指“排序；②两边提取-调换位置
（2）适用：两类函数相乘
例题1：
解题：可以看出该式子，就是由”反对幂三指“这三种函数组成的式子。可以看出：幂函数”x“比指数函数”“更靠前。所以是被微的对象，变为：。既有……最后结果要加C
例题2：
解题：可以看出该式子，有幂函数”“，以及三角函数：“”。幂函数比三角函数排序靠前，所以就有了 ,所以然有了：,最后为……
例题3：
解题，前面题步骤直接跳过，到这.。差不多，主要想理解d后的微积分是为啥可以直接导出来。
例题4：
思路：这个只有单个函数组成的式子，其实也可以变成两个函数组成的式子，只需添加一个。当然最后变式子也是原式，所以也可以直接进行到，式子套进去运算的那一步就可以对象了
定积分
一. 定积分的的有关概念。
1、定积分：求曲边梯形的面积
2、定积分的几何意义
3、定积分的存在定理
（1）若是上连续，必存在。
（2）若在[a, b]上有界，且只有有限个间断点，则必存在
二. 定积分的性质
1、估值定理（求范围） ①若在[a, b]上，
例题
解题思路：先找被积函数的范围即是f(x)的范围也就是所谓的高，然后再与长相乘，那就是整个定积分的范围了
2、 积分中值定理（平均值定理）
条件：若f(x)在[a, b]上连续
结论：。固有：
3、对称区间上的奇偶性（奇函数：原点对称； 偶函数：y轴毒对称）
例题一：
解析：此式子是奇*偶 = 奇，所以该式子是一个奇性，所以答案为0.
例题二：
解析：此式子是奇*偶 = 奇，所以该式子是一个奇性，所以答案为0.
牛顿——莱布尼茨公式
注意：
① f(x)在[a, b]上连续
② 定积分结果不用再加C
例子:
解题：
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三、定积分的计算
第一换元法(凑微分)
例题一：
解题思路： 这边用到的是凑微分的方式
例题二
解题思路：我们可以看出是由的，所以我们要考虑的是用到第二还原法。那么我们直接化简就可以化成的形式。那么就可以看出最后的答案，得出最后的答案。。
例题三
解题思路： 我们可以看出出题目的就是用了根号，所以我们使用第二换元法。
分部积分
公式：
（1）步骤：①根据”反对幂三指“排序；②两边提取-调换位置，靠后的原函数要往后放。
（2）适用：两类函数相乘
例题一：
结论：我们可以看到这个式子也有包含根号，所以先用第二换元法，然后再用分部积分，求出结论。
含有绝对值、分段函数求定积分
技巧：根据积分的可加性。在f(x) = 0处断开，分成两个不同区间的定积分。
例题一：
解题思路：我们首先要先得到f(x) = 0处的x值是为2.然后分段，分成[0, 2], [2, 4]，然后再算算那个是负数。
例题二
解题思路：一般这种情况下，就先找到断点
例题三
解题思路：我们首先要先换元，把x-2换成t，注意是，定积分的范围也是要换的。然后找断点，显然，这里的断点是0。所以，我们就可以根据这样的式子，最后计算得出我们的结果了
含有定积分的方程求
步骤：
①
②两边同时取，(注意新产生的A)
例题一
思路，我们先令 = A，代入式子。再边都取，。注意新产生的A
变限积分
1、变限积分：
2、求导公式：
3、常考：
3、 注意：常数的求导都等零（0）。适用于上下限有一个未知数，
变化：
例子一：
解题思路：我们如此可见，这是让我们进行求导，然后我们套入公式得出答案，即可！
无穷区间上的广义积分
定义：上限或下限出现∞的积分
注：如果结果存在，则该积分收敛，否则发散
例题一：
解题技巧：我们首先可以看到这个出现了∞，所以这是求，无穷广义上的积分。，所以我们可以直接套入公式得出答案来，不过，我们首先要使用凑微分。
定积分的应用
求(封闭图形)平面图形的面积
例题一
解题思路，对于定积分的应用
第一步：我们先画出图形，根据关键点，交点来画图，并找出他们所围的封闭图形。
第二步：我们要判断，我们切割是水平切割，还是垂直切割。那个方便那个了来。根据我们例题的图形，我们要选择的是水平切割，垂直切割会出现 转折点，会比较麻烦一点。
第三步：写出定积分式子：。这边我们要搞清楚在水平切割时，要分辨是谁再最右侧的，那么就是谁
求旋转体的体积
原理：根据圆柱体的体积来算，即是底面积乘高。所以定积分的形式也是相当于第，面积乘高
例题一：
解题思路：我们可以根据自己所画的图，可以看出他么出现了交点，也就是说有两部分，曲线所旋转的区域是不一样的。所以我们必须要分开来。
图形
根据图形所得式子：
例题二
解题思路。画出我们的图形，根据图形我们可以看出，这个图形就是空心圆锥体。
例三
解题思路：我们也可以看得出，这个图形也是一个空心圆柱，我们要减去里面的空心部分
例题三
解题思路：这里由第一点不一样的就是，该x是趋向于+∞的。所以在写上下限的时候一定要不要弄错。
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求平面曲线的弧长
原理：这个借助了沟谷定理求出一小段的切线的距离(即弧长），然后我们通过无限的切割，足够细的时候，他们就说过相等的。
例题一
解题思路：我们可以看出这是求[0, 1]的弧长的距离，代入公式，就可以求出。