算法之图论

定义

图通常以一个二元组 G=表示，V表示节点集，E表示边集。节点集中元素的个数，称为图的阶。

若图G中的每条边都是没有方向的，称为无向图；每条边是由两个节点组成的无序对，例如节点V1和节点V2之间的边，记为(V1, V2)
![无向图](https://img-blog.csdnimg.cn/7a120abfeaac447681c3d703b3251f06.jpeg#pic_center
若图G中的每条边都是有方向的，称为有向图；有向边也称为弧，每条弧是有两个节点组成的有序对，例如节点V1和节点V2之间的弧，记为

定理

握手定理：所有节点的度数之和等于边数的两倍。

存储

邻接表是图的一种链式存储结构，包括两部分：节点和邻接点。
邻接点结构

struct LinkNode {
    int nodeIndex; // 节点下标
    // int weight; // 路径上有不同权重，可以使用
    LinkNode *next; // 下一个邻接点
};

节点

struct Node {
    char ch; // 节点名称，假定为单字符
    LinkNode *first; // 第一个邻接点
}

节点数组

Node nodes[26]; // 26个字符

示例：
有如下图：

邻接表结构：

图的搜索

广度优先搜索

广度优先搜索（Breadth First Search, BFS），又称为宽度优先搜索。即从某个节点（源点）出发，优先访问该节点的所有未被访问的邻接点，再依次从这些被访问的点出发，一层一层的访问，直到访问节点均已访问。如存储的示例图，访问顺序如下

深度优先搜索

深度优先搜索（Depth First Search, DFS）。即优先沿着一条路径搜索，直到当前节点无未被访问的邻接点，则退回到上一个节点，继续访问其未被访问的邻接点，直到所有点均已访问。如存储的示例图，访问顺序如下

图的连通性

1. 无向图的连通分量
   在无向图中，如果从节点Vi到节点Vj有路径，则称节点Vi和节点Vj是连通的。如果途中任意两个节点都是连通的，则称图G为连通图。连通分量，即其子连通图。如下图，为连通图
   
2. 有向图的强连通分量
   在有向图中，如果图中的任意两个节点从Vi到Vj都有路径，且从Vj到Vi也有路径，则称图G为强连通图。强连通分量，即其子强连通图。如下图，为强连通图
   
3. 桥和割点
   如果去掉无向图G中的一条边Ei后，图G分裂为两个不相连的子图，那么Ei为图G的桥，或称割边；如果去掉无向图G中的一个节点Vi，及与Vi关联的所有边后，图G分裂为两个或两个以上不相连的子图，那么Vi称为图G的割点。
   如存储的示例图，去掉d到e的边，则原图分裂为两个不连通的子图，因此，d到e的边，为图的桥
   
   如存储的示例图，去掉节点d，及与d相连的边，则原图分裂为两个不连通的子图，因此，节点d为图的割点
   
   桥与割点的关系：有割点不一定有桥，有乔一定有割点；桥一定是割点依附的边
   桥与割点的算法：Tarjan算法
4. 无向图的双连通分量(DCC)
   如果无向图中不存在桥，则称为边双连通图。图中任意两点之间都存在两条或两条以上的路径，且路径上的边互不重复。极大边双连通图，称为边双连通分量(e-DCC)。
   如果无向图中不存在割点，则称为点双连通图。图中，如果节点数大于2，则在任意两点间都存在两条或两条以上路径，且路径上的点互不重复。极大点双连通子图称为点双连通分量(v-DCC)。
5. 双连通分量的缩点
   把每一个边双连通分量都看作一个点，把桥看作连接连个缩点的无向边，可得到一棵树，这种方法被称为边连通分量缩点。如图，虚线内看作一个节点
   
   把每一个点双连通分量都看作一个点，把割点看作一个点，每个割点都向包含它的点双连通分量连接一条边，得到一棵树，这种方法称为点双连通分量缩点。如图，虚线内看作一个节点
   

参考《算法训练营》