[信号与系统系列] 复指数信号

正弦信号的向量表示

正弦信号由幅值、频率和初相位三个要素确定。由于在线性正弦稳态电路中，各处的电流和电压都是正弦信号，并且它们的角频率与正弦的角频率相同，因此，在进行正弦稳态电路分析时，对于正弦信号的幅值和初相位，是我们最为关心的两个要素。而对于一个复数可以由模和辐角来确定，例如一个复数Im∠θi ，令这个复数在复平面上以角速度ω逆时针旋转，如下图a所示，在任何时刻，这个复数在虚轴上的投影等于Imsin(ωt + θi )，如下图b所示，这正好是用正弦函数表示的正弦电流i。

 Im∠θi与正弦电流i=Imsin(ωt + θi )有一种相互对应的关系，因此可用复数Im∠θi来表示正弦电流i。

特别注意的是，正弦信号是时间的实函数，并非矢量或复数量，所以，相量不等于正弦信号。但是，它们之间有相互对应关系。那么对应的实际数学关系是什么呢？？？

复指数信号

复指数信号定义为：

信号是t的复函数，其幅值总是恒定的，即，其角度，使用欧拉公式，复指数信号可以用笛卡儿形式表示为：

绘制复信号关于时间的波形图需要绘制两个图：一个用于实部，另一个用于虚部。这个复指数信号的实部和虚部都是实正弦信号，他们的相位只有0.5πrad的相移。

我们对复指数信号感兴趣的主要原因是，它是实余弦信号的另一种表示方法，因为我们总是可以将实信号写成：

这里，我们理清楚了正弦信号与复指数信号的表示关系，那么更深一步地，正弦信号可以用复指数信号合成吗？

逆欧拉公式

先摆出来欧拉公式：

逆欧拉公式用复指数来表示余弦函数：

同时正弦函数也能表示为：

那么，可以用正频率和负频率复指数来得到：

这里和上一小节的公式是不是不谋而合了？

这个公式有个有趣的解释，实余弦信号实际上是两个复指数信号的合成，一个有正频率而另一个有负频率；正频复指数信号的复振幅是0.5X，负频复指数信号的复振幅是0.5X*。也就是说，实余弦信号能够表示成两个互为负共轭的旋转复振幅矢量的和。