【学习笔记】[ABC236Ex] Distinct Multiples

典中典题目。

考虑怎么转化成普通的容斥形式

发现可以将$S$拆分成若干个集合相加的形式，然后分开求$\text{lcm}$算贡献。

感觉和斯特林数有关系。

破防了，题解告诉我们这个容斥系数是$(-1{)}^{|S|-1}(|S|-1)!$

可以通过对边集容斥得到这个优美的结果。

原题解不见了。。。

发现可以将$a_i=a_j$的两个点之间连边，这样我们转化成了图计数的问题。

设$C(E)$表示连上边集$E$后的连通块结果，$F(P)$表示连通块为$P$时的答案，也就是连通块方案数的乘积。

那么根据经典的容斥原理，答案是${\sum }_E(-1{)}^{|E|}F(C(E))$。

改变求和顺序得到：${\sum }_{P}F(P){\sum }_{C(E)=P}(-1{)}^{|E|}$

首先要做过这道题 [集训队作业2013] 城市规划 。

记$G(x)$表示简单无向图的$EGF$，$F(x)$表示简单连通图的$EGF$，发现$G(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}\frac{x^n}{n!}({\sum }_{i=0}^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}(-1{)}^i\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}{i}\right))=1+x$，$G(x)=1+\frac{F(x)}{1!}+\frac{F(x{)}^2}{2!}+...+\frac{F(x{)}^n}{n!}=\text{exp(F(x))}$，手算便知$F(x)$，这样我们得到了容斥系数。最后用乘法原理即可。

暴力实现，复杂度$O(3^n)$。

为什么是圆排列？我感觉有不用多项式的方法，但是我想不到。

$\text{remark}$ 但是$NOIP$已经不考多项式了。。。