管理类联考——数学——记忆篇——不同角度解读——一、算术——应用题

从历年考试情况来看，应用题一般设置6个题目左右，占18分，涉及相关考点的应用题比较灵活，技巧性比较强，所以要加大应用题的训练。

图标说明

：鑫quan
⛲️：陈jian
：张紫chao
：MBA大师
：海mian
：环qiu

比例

关键

已知两个数量的比，当这两个数量发在增减变化后，比也发生变化。通过变化的描述，如何求出原来的两个数量，是考试的核心内容。找到变化过程中的不变量作为基准是解题的关键。

题型

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定比例问题（知总求部）

思路：常规方法是设未知数求解，简便方法可以套公式：部分量=总量×对应的比例。

定比例问题（知部求总）

思路：常规方法是设未知数求解，简便方法可以套公式：总量=$\frac{部分量}{对应的比例}$

定比例问题（知部求部）

思路：先要确定联系各部分量的中介量，然后可以设未知数求解或者列等式求解。

变比例问题（某量不变）

思路：常规方法是设未知数求解，简便方法可以统一不变量的份数，分析变化量的份数情况，然后求出每份的数值即可.

变比例问题（总量不变）

思路：常规方法是设来知数求解，简便方法可以统一总量的份数，分析变化量的份数情况，然后求出每份的数值即可，

变比例问题（差量不变)

思路：对于增加或减少同样数值的比例，其差量是不变的。常规方法是设未知数求解，简便方法可以统一差量的份数，分析变化量的份数情况，然后求出每份的数值即可。

变比例问题（各量都变）

思路：对于各量都变的比例问题，建议设未知数，根据题意列方程求解。

思路

比例问题有三个出题方向：

1. 分式比思路：遇到分式比，先将分式比化为整式比（同乘分母的最小公倍数）
2. 化参数为主元，引入比例系数k。
3. 总量=部分量 ÷ 部分量占总量的比例。

多个比例统一问题的出题模式非常固定，通常涉及三个量，并且题目已知条件是两两比值，我们的解题思路也很固定，用中间量（出现两次的）将其它两个量连接起来。

定义

1. 定义
   两个数相除，又叫做这两个数的比，a和b的比（b≠ 0），记为$a:b$或$\frac{a}{b}$ ，这个比的值叫做α与b的比值。( a、b相除的商），表示两个比相等的式子叫做比例。
2. 比例内项与比例外项
   $a:b=c:d$或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项。
3. 正比与反比
   正比：$y=kx$ → 两变量比值一定
   注意：并不是x和y同时增大或减小才称为正比，比如当k<0时，y随x的增大而减小。
   反比：$y=\frac{k}{x}$ → 两变量乘积一定
4. 见比设份数
   如甲与乙的比例为3：7，那么可设共有10份，则甲占3份，乙占7份，乙比甲多4份等。相比的两项可以是整体中一般的两项，也可以将整体与部分看做相比较的两项。
   $\frac{个体的数量}{个体占总体的比例}=总量$
   $\frac{个体的数量}{个体占的份数}=每份的数量$
   $每份的数量\times 总份数=总量$
   $\frac{差额的数量}{差额的份数}=每份的数量$

定义

提示

解题提示：这类问题的关键是找准基准量，明确所求的是哪些量的比。

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百分率/基准量问题

是什么

1. 变化率=$\frac{变化量}{变前量}$×100%=$\frac{|现值-原值|}{原值}$ ×100%=$|\frac{现值}{原值}-1|$×100%；
2. 增长率p%$\stackrel{原值a}{\to }$现值a(1+p%)； 下降率p%$\stackrel{原值a}{\to }$现值a(1-p%)
3. 甲比乙大p% ⟺ $\frac{甲-乙}{乙}$=p% ⟺ 甲=乙×(1+p%)；
   甲是乙的p% ⟺ 甲=乙×p%；
   甲比乙大p%并不等于乙比甲少p%，先减少p%再增加p%并不能等于原数值。
4. 恢复原值：原值先降p%，再增p%(1-p%)才能恢复原值；或者先增p%再降p%(1+p%)才能恢复原值。

题型

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1. 原值a→增长p%→现值a(1+p%)
2. 原值a→下降p%→现值a(1-p%)
3. 甲比乙大p% ⟺ $\frac{甲-乙}{乙}=$p% ⟺ 甲=乙(1+p%)
4. 甲比乙小p% ⟺ $\frac{乙-甲}{乙}=$p% ⟺ 甲=乙(1-p%)
5. 甲是乙的p% ⟺ 甲 = 乙p%
   【注意】甲比乙大p% ≠ 乙比甲小p%

单一变化率

根据现值=原值×（1+变化率）

增降并存的变化率

根据变化率公式进行分析

连续变化率

连续变化率公式：原值为a，变化率为p，则连续变化k次后的值为$a(1+p{)}^k$

思路

基准量问题的出题模式非常固定，即：A比B多(少)p%。
我们的解题思路也很固定：记住“比”后面的量叫基准量，我们必须要设基准量为未知数x。
绝对量：在基准量问题中，增加的部分叫做增加绝对量。

定义

1. 基本概念
   增长率为增加的数额与原来数额之间的比例关系.此类题目的关键是确定基准量，即相对于谁增加或减少了.例如: a相对于b增长了10%，则有a =(1+10%)b；b相对于α减少了10%，则有b=(1-10%)a。
2. 平均增长率
   平均增长率是一个专有的概念，它不是增长率的平均值。它是指一定时间内，平均每年/月增长的速度。如设第1年数值为A(期初数值)，第n年数值为B(期末数值)，则平均增长率为：$q=\sqrt[期数n-1]{\frac{期末数值B}{期初数值A}}-1$ 。
   注意：平均增长率不是增长率的平均值，平均增长率只取决于期初数值、期末数值与增长期数，中间的数值即事实中具体如何从A增长至B的，则不影响平均增长率的值。

提示

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商品利润

是什么

利润=售价-进价
利润率=$\frac{利润}{进价}$×100%=$\frac{售价-进价}{进价}$×100%= $(\frac{售价}{进价}-1)$×100%
售价=进价×(1＋利润率)=进价+利润

怎么做

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求原价或标价

根据售价=进价×( 1＋利润率）进行判断．注意数学中的利润率在默认情况下，是以进价(成本）为基准量进行计算的，而经济学中的利润率是以售价为基准进行计算的，如果以售价为基准，就会得到错误答案。

求销量

根据进价、售价、利润的关系，列方程求销量。

价格变化（打折优惠）问题

要掌握公式的灵活变形：
利润率=$\frac{利润}{进价}$×100%=$\frac{售价-进价}{进价}$×100%=（$\frac{售价}{进价}$）×100% ⇒ $\frac{售价}{进价}$=1+利润率；售价=进价×（1+利润率）⇒ 售价-进价=进价×利润率。

盈亏并存问题

对于盈亏并存，要会求解最后的净利润。根据公式净利润=盈利-亏损来求解分析。

恢复原价

可以记住两个规律：如果原价为a，先降p%，再增p%/(1-p%)，能够恢复原值。原价为a，先增p%，再降p%/(1+p%)，能够恢复原值。

定义

1. 售价 = 成本＋利润 = 标价 × 折扣数 = 成本×（1＋利润率)
2. 成本 = 售价–利润 = $\frac{利润}{利润率}$ = $\frac{售价}{1+利润率}$
3. 销售额 = 销售价格 × 销量
4. 利润率 = $\frac{利润}{成本}$ ×100%
5. 利润 = 售价–成本 = 成本 × 利润率
   注意：数学中的利润率在默认情况下是以进价作为基准量进行计算的，而经济学中的利润率是以售价为基准量进行计算的。

定义

1. a(1+x%) = A，其中a为原价，x%为升幅，A为新价。
2. b(1-x%) = B，其中b为原价，-x%为降幅，B为新价。
3. 商品利润 = 商品售价 - 商品进价
4. $\frac{商品售价-商品进价}{商品进价}=商品利润率$
5. $\frac{现在营业额-原来营业额}{原来营业额}=A$%，其中A%为现在营业额比原来营业额增加的百分比。

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路程问题

定义

1. 路程s，速度v和时间t之间的关系：$s=vt，t=\frac{s}{v}，v=\frac{s}{t}$
2. 相对速度：同向而行，相对速度=$|V_{甲}-V_{乙}|$；相向而行，相对速度=$V_{甲}+V_{乙}$
3. 速度相同，时间比等于路程比，时间相同，速度比等于路程比；路程相同，速度比等于时间的反比
4. 顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度
5. 追及与相遇问题：
   ①直线型路程：
   相遇：$S_{相遇}=S_{甲}+S_{乙}=(v_{甲}+v_{乙})t$；
   追及：$S_{追及}=S_{甲}-S_{乙}=(v_{甲}-v_{乙})t$
   ②圆圈型路程：
   同向运动：同一起点出发，顺时针方向跑，第一次在B点遇上（$V_{甲}＞V_{乙}$）。等量关系（经历时间相同）：$S_{甲}-S_{乙}=S$。甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若相遇n次，则有$S_{甲}-S_{乙}=nS；\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{nS+S_{乙}}{S_{乙}}$。
   
   逆向运动：同一起点出发，相反方向跑，第一次在B点遇上。等量关系：$S_{甲}+S_{乙}=S$。甲乙每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈，若相遇n次，则有$S_{甲}+S_{乙}=nS；\frac{V_{甲}}{V_{乙}}=\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{nS-S_{乙}}{S_{乙}}$
   

怎么做

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（一）直线路程问题
一、考点讲解

1. 基本公式
   $s=vt，v=\frac{s}{t}，t=\frac{s}{v}$
2. 直线相遇公式
   $S_{相遇}=S_1+S_2=v_{1}t+v_{2}t=(v_1+v_2)t$
3. 直线追及公式
   $S_{追及}=S_1-S_2=v_{1}t-v_{2}t=(v_1-v_2)t$

二、考试解读

1. 路程问题在考试中出现的频率较高，做路程问题，首先根据题意要画出示意图，标注已知对象的相关信息，其次建立等量关系，常用的是时间或路程为基本等量式。
2. 路程问题的重点在于设未知数和找等量关系，尤其多对象运动问题，对考生要求较高。
3. 难点在于变速运动的路程问题及图像的路程问题。
4. 考试频率级别：高。

三、命题方向

1. 直线相遇
   思路：两车相向而行，相遇时间=路程和÷速度和或相遇时间=路程差÷速度差。
2. 直线往返相遇
   思路：对于多次往返相遇的题目，要根据两人的路程关系列方程求解。
3. 直线追及
   思路：两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）做同向运动，在后面的行进速度要快些，在前面的行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫作追及问题，根据追及时间与路程的关系列方程，所用公式为：路程差 = 速度差×追及时间.
4. 直线变速
   思路：变速运动难度较大，主要根据速度变化前后的时间关系列方程。

（二）水中行船问题
一、考点讲解

1. 船顺流时速度：$v_{顺}=v_{船}+v_{水}$
2. 船逆流时速度：$v_{逆}=v_{船}-v_{水}$

二、考试解读

1. 水中行船问题要看清楚水流方向，分清是顺水还是逆水。
2. 难点在于水流何时对船有影响。
3. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 与水速有关
   思路：单一物体在水上运动时，时间与水速有关。
2. 与水速无关
   思路：多个物体在水中运动，无论是相遇还是追及，都与水速无关。因为水速抵消了。

（三）相对速度问题
一、考点讲解

二、考试解读

1. 当出现多个物体同时运动时，将某个物体看成“静止”的，当作参照物，利用相对速度分析会比较简便。
2. 路程问题的难点在于运动的方向，对考生要求较高。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. 队伍行军
   思路：可以将队伍看成静止的，通讯员转化为相对运动分析即可。
2. 火车与行人
   思路：将行人看成静止的，然后火车转化为相对运动分析即可。
3. 发车间隔
   思路：将行人看成静止的，然后公交车转化为相对运动分析即可。

（四）火车过桥问题

一、考点讲解
火车过桥时间：$t=\frac{l_{车}+l_{桥}}{v}$
二、考试解读

1. 火车过桥比较简单，按公式计算即可。
2. 由于火车速度不变，时间与长度成比例，采用比例法分析比较简单。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. 火车过桥
   思路：根据公式$t=\frac{l_{车}+l_{桥}}{v}$，列方程求解分析。

（五）圆圈路程问题

1. 同向同起点：甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈
2. 反向同起点：每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈

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【解题思路】路程问题主要研究路程、速度、时间的关系，其核心是时间，很多方程都是根据时间关系列等式。此外，路程常考问题有相遇、追及、跑圈、顺水、逆水、相对运动。

思路

1. 路程问题分为直线型的路程问题和圆圈型的路程问题
   直线型的路程问题：直线型的相遇（速度和)，直线型的追及（速度差)
   圆圈型的路程问题：圆圈型的相遇（速度和)，圆圈型的追及（速度差)
2. 路程问题的拓展：
   （1）顺水，逆水问题
   （2）火车过桥问题
   （3）关于基本公式：$s=vt$ 的比例关系的考察
3. 路程的比例问题

公式

1. 基本公式
   $路程s=速度v\times 时间t，$$速度v=\frac{路程s}{时间t}，$$时间t=\frac{路程s}{速度v}$

2. 相遇和追及
   相向运动的两物体相对速度为两速度之和，同向运动的两物体相对速度为两速度之差。
   $相遇时间=\frac{相遇距离}{速度之和v_1+v_2}$
   $追及时间=\frac{追及距离}{速度之差v_1-v_2}$

3. 环形道路
   两人自同一起点沿环形跑道相向/同向行进，直至相遇，有如下等量关系：
   相向时：甲路程 + 乙路程 = 环形周长
   同向时：快者路程 ― 慢者路程 = 环形周长
   事实上，相向跑圈每相遇一次，两人路程之和为环形跑道周长；同向跑圈每相遇一次，快者比慢者多跑一个环形跑道周长。

4. 顺水/逆水行船
   逆水行船时：实际速度为$v_{船}-v_{水}$；顺水行船是：实际速度为$v_{船}+v_{水}$。

5. 火车错车/过桥过洞
   相向错车：$t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之和v_1+v_2}$
   同向超车：$t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之差v_1-v_2}$
   火车过桥/过山洞：$t=\frac{l_{山洞/桥梁}+l_{火车}}{v}$

定义

1. 相遇问题，反向行驶，第一次遇见路程和等于总路程
   相遇时间=总路程 ÷ （甲速 + 乙速）
   总路程 = （甲速 + 乙速）× 相遇时间
2. 追及问题，每追上一次表示速度快的比慢的多跑一圈
   追及时间 = 追及路程 ÷ （快速 - 慢速）
   追及路程 = （快速 - 慢速）× 追及时间

类型

解题提示：根据题意画图，找等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。
常见类型有：
类型一：

A 的行程 + B 的行程 = 甲、乙两地的距离
相遇过程：相遇时间=$\frac{距离之和}{速度之和}$

类型二：同向
（圆圈型）每相遇一次，甲比乙多跑一圈

类型三：逆向

解题技巧：在做圆圈型追及相遇题时，在求第 k 次相遇情况时，可以将 k-1 次相遇看成起点进行分析考虑。

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工程问题

公式

$工作量=工作效率\times 工作时间（s=vt）$；
$工作时间=\frac{工作量}{工作效率}$$（t=\frac{s}{v}）；$
$工作效率=\frac{工作量}{工作时间}$$（v=\frac{s}{t}）；$

题型

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一、考点讲解

1. 工作效率=工作时间工作量
2. 工作量=工作效率×工作时间.
3. 工作时间=工作效率作时间-工作量(4）
4. 总效率=各效率的代数和.

二、考试解读

1. 工程相关的计算公式与路程相似，工效可以看成速度，工量可以看成路程，工时可以看成时间，所以两者可以结合起来记忆。
2. 工作量一般分为具体量和抽象量，对于抽象的工作量，可以将总工作量看成1。对于工作效率，可以看成单独完成时间的倒数。
3. 此类题的核心参数是工作效率，工作效率是做题关键，一般而言，效率已知的题目比效率未知的题目要简单。当效率未知时，要优先设效率，然后找工作量或工作时间的等量建立方程，工程问题的难点是变效率的工程问题。
4. 考试频率级别：高。

三、命题方向

1. 求工作时间
   思路：根据工作时间=工作量/工作效率分析。
2. 求工作量
   思路：根据工作量=工作时间×工作效率来分析。
3. 轮流工作
   思路：轮流工作主要先求出一个周期的工作量，然后预估周期数，最后分析收尾的对象及需要的时间。
4. 变效率工程
   思路：根据效率变化前后的时间关系列方程求解。此外，对于效率未知的工程问题，优先设效率求解。
5. 效率正负
   思路：遇到进水排水的工程问题时，可以将进水管的效率看成正的，排水管的效率看成负的。
6. 求工钱或费用
   思路：此题要找两个量：①各自的工作效率；②各自每天所得到的费用。此外，此类题的运算量较大，也可以采用估算的方式定性判断。

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【解题思路】对于工程问题，主要研究工作量、工作效率和工作时间的关系。此外，工程问题的核心是工作效率，所以工作效率是解决问题的突破口。

思路

工程问题的固定解题思路（通解通法)
A.第一步：先看题目有没有问工作总量
B.如果题目中问了工作总量，设工作总量为S
C.如果题目中没有问工作总量，工作总量永远都是单位1
D.永远只用一个公式进行求解，即s = vt
E.要注意题目中前后单位的一致

公式

$\frac{工作量}{工作时间}=工作效率$
$\frac{工作量}{工作效率}=工作时间$
工作量=工作时间 × 工作效率

实际解题时，常将工作总量设为1进行分析，如：日工作效率为每天完成工作总量的几分之一。

思路

1. 解答工程问题的关键是把工作总量着作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
   (1）工作量 = 工作效率 × 工作时间
   (2）工作时间 = 无作量 ÷ 工作效率
   (3）工作时间 = 总工作量 ÷（甲工作效率＋乙工作效率）
   2．解题思路和方法：变通后可以利用上述数量关系的公式，两种方法：
   法①：没有给具体每个人的工作量问题，设总量为 “ 1 ”；
   法②：已知每个人的工作量，设总量为已知量的最小公倍数。

提示

工程问题/放水问题
解题提示： 通常将整个工程量（放水量）看成单位1，然后根据题目条件按比例求解。
计算公式：
工作效率 = 完成的工作量 ÷ 工作时间
总量 = 部分量 ÷ 部分量所占的比例
预备知识：

1. 一件工程甲队单独做a天完成，则甲队单独做一天完成工程的$\frac{1}{a}$ 。

2. 一件工程甲队单独做a天完成，乙队单独做b天完成，则甲、乙两队合作一天完成工程的$\frac{1}{a}＋\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，甲、乙两队合作需$\frac{ab}{a+b}$天完成。

3. $\frac{总抽水量}{抽水时间(小时)}$=每小时抽水量

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交叉比例法/杠杆原理

是什么

先上下列出每部分的数值，然后与整体平均数值相减，减得的两个数值的最简整数比就代表每部分的数量比。

怎么做

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一、考点讲解

1. 适用情况
   当出现一个整体分为两部分时，可以采用交叉比例法。交叉法是应用题中―类技巧方法，运用技巧的关键在于应用时机的把握以及最后的比值确定。当一个整体按照某个标准分为两部分时，可以根据杠杆原理得到交叉法，快速求出两部分的数量比。另外，交叉法的应用不局限于平均值问题，只要涉及一个大量、一个小量以及它们混合后的中间量，一般都可以利用交叉法算出大量与小量的比例，例如溶液配比问题。
2. 使用方法
   
   先上下列出甲、乙的数值，分别与整体的值进行相减，这样就可以得出甲、乙的数量比。

二、考试解读

1. 杠杆交叉比例法的应用原理要灵活掌握，否则遇到题目很难想到此方法。
2. 此方法的关键是根据题目来画图，标注出各部分数值，然后交叉相减得到比例。
3. 此方法注意不要把对象比例写反了。
4. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 适合交叉比例法的情形
   思路：当已知每一部分的数值及整体的数值时，可以采用交叉比例法求出两部分的数量比。
2. 不适合交叉比例法的情形
   思路：当甲、乙或整体中出现未知量时，使用交叉法需要涉及很复杂的方程，运算量比较大，所以以下例题建议采用解析中的方法二。

思路

杠杆原理交叉法的应用条件：
当一个整体按照某个标准分为两部分时，可以根据杠杆原理得到交叉法，快速求出两部分的数量比，交叉法不仅仅局限于平均值问题，只要涉及一个大量，一个小量以及他们混合后的平均量，一般都可以用交叉法计算，例如溶液的配比问题。

原理

平均值应用题
解题方法：交叉法
解题规律：A部分的数值有$x个a$，B部分的数值有$y个b$，A +B的平均值为C，则

原理：根据总数相等$ax+by=c(x+y)，\to ax+by=cx+cy，\to ax-cx=cy-by，则\frac{x}{y}=\frac{c-b}{a-c}$

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溶液浓度

思路

1. 溶液=溶质+溶剂；浓度=$\frac{溶质}{溶液}$×100%=$\frac{溶质}{溶质+溶剂}$×100%。
2. 重要等量关系
   ①浓度不变准则：将溶液分成若干份，每份的浓度相等，都等于原来溶液的浓度；将溶液倒掉一部分后，剩余溶液的浓度与原溶液的浓度相等。
   ②物质守恒准则：物质(无论是溶质、溶剂，还是溶液)不会增多也不会减少，前后都是守恒的。
3. 解题思路
   ①“稀释”问题：特点是增加“溶剂”，解题关键是找到始终不变的“量”–—“溶质”。
   ②“浓缩”问题：特点是减少“溶剂，解题关键是找到始终不变的“量”——“溶质”。
   ③“加浓"问题：特点是增加“溶质”，解题关键是找到始终不变的“量”——“溶剂”。
   ④“配制”问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新的溶液(成品)。
   ⑤“置换”问题：一般是用溶剂等量置换溶液，原来溶液v升，倒出m升，再补等量的溶剂(水)，则浓度为原来的$\frac{v-m}{v}$。

思路

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一、考点讲解

1. 溶液=溶质+溶剂
2. $浓度=\frac{溶质}{溶液}\times 100$%
3. 溶质=溶液×浓度
4. 溶剂=溶液×(1-浓度)

二、考试解读

1. 溶液的浓度问题是考生的薄弱点，因为考题比较抽象。
2. 此类问题的关键点是找到溶质、溶剂、溶液、浓度的关联式，根据题目的已知信息来列方程求解。
3. 此类题目又可分为：蒸发、稀释、等量置换、溶液混合等类型，要掌握每类题目的解题套路。浓度的本质是溶质占总体的百分比。根据溶质守恒，来分析浓度的变化。
4. 配制问题是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品)，解题关键是分析所取原溶液溶质的量等于成品溶质的量及溶液前后质量不变，找到两个等量关系。

三、命题方向

1. 溶质、溶剂单一变化
   思路：根据不变量列方程求解。具体分为：
   （1）“稀释”问题：特点是加“溶剂”，解题关键是找到始终不变的量（溶质)。
   （2）“浓缩”问题：特点是减少溶剂，解题关键是找到始终不变的量（溶质)。
   （3）“加浓”问题：特点是增加溶质，解题关键是找到始终不变的量（溶剂)。
2. 溶液混合
   思路：如果已知每部分的浓度和混合后的浓度，采用交叉比例法求解。如果已知每部分的浓度及溶液的量,求混合后的浓度，采用权重法求解。
3. 等量置换
   思路：对于用溶剂等量置换溶液问题，可以记住结论：设体积为 v 升溶液，倒出 m 升，补等量的水，则浓度为原来的$\frac{v-m}{v}$。
4. 互相倒溶液
   思路：对于多容器互相倒溶液，每倒一次，相当于混合一次，多次用交叉比例法求解即可。
5. 其他等量关系
   思路：可以根据溶质或溶剂来列方程，或者根据浓度的定义来分析。

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等量置换：对于用溶剂等量置换溶液问题，可以记住结论：设体积为 v 升溶液，倒出 m 升，补等量的水，则浓度为原来的$\frac{v-m}{v}$。

【解题思路】浓度问题主要研究溶质、溶剂、溶液的关系，浓度的本质表示溶质占总体的百分比。求解时，核心问题是溶质，很多方程都是通过溶质列等量关系。

思路

【A】溶液 = 溶质＋溶剂
（1）浓度 = $\frac{溶质}{溶液}$×100%=$\frac{溶质}{溶质+溶剂}$×100%
（2）溶质 = 浓度 × 溶液
（3）溶液 = 溶质 ÷ 浓度
【B】浓度不变准则：
（1）将溶液分成若干份，每份的浓度都相等，都等于原来的浓度。
（2）如果将溶液倒出一部分之后，剩余溶液的浓度与原溶液的浓度相同。
【C】考官重要命题思路
（1）稀释问题：特点是加溶剂稀释，溶质不变，以溶质不变列等式求解。
（2）浓缩问题：特点是溶剂减少，溶质不变，以溶质不变列等式求解.
（3）加浓问题：特点是增加溶质，溶剂不变，以溶剂不变列等式求解.
（4）蒸馏问题：特点是减少溶剂，溶质不变，以溶质不变列等式求解.
（5）混合问题：用两种浓度不同的溶液进行混合，通常使用杠杆原理交叉法。
（6）置换问题：浓度置换公式（秒杀思路)

定义

1. 基本公式
   $\frac{溶质}{溶质+溶剂}$ ×100%

2. 溶液倒出后加满水
   将某液体倒出$V_1$体积后，加满水搅匀，再倒出$V_2$体积后，加满水搅匀，得到的稀释后的液体浓度公式为：
   初始浓度×$\frac{总体积V-体积减少量V_1}{总体积V}$×$\frac{总体积V-体积减少量V_2}{总体积V}$=最终浓度
   注：将溶液更多次倒出后加满水得到稀释后的液体浓度可以此类推。当初始液体为纯酒精时，浓度为1。

3. 两种不同溶液混合——十字交叉
   两种相同成分不同浓度的溶液混合，混合前浓溶液的质量为m，溶质质量分数为a%，稀溶液的质量为n，溶质质量分数为b%，两溶液混合后的溶质质量分数为c%，根据十字交叉法（或称 “ 对角线法 ”)有：

类型

稀释问题——解题提示：溶质守恒
常用公式：

1. $浓度百分比=\frac{溶质}{溶液}$
2. 溶质 = 溶液 × 浓度百分比
3. $x+y=a$和$xb$%$+yc$%$=ab$%
4. 一种酒精溶液，其中纯酒精和水之比是$a：b$（重量之比），含纯酒精为$\frac{a}{a+b}$，含水为$\frac{b}{a+b}$。

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集合问题

并集运算，符号：\cup，如：$x\cup y$
交集运算，符号：\cap，如：$x\cap y$

图解

对于集合问题，要根据题意画出相应的文氏图来进行求解。
两个集合：$A\cup B=A+B-A\cap B=全集-\bar{A}\cap \bar{B}$
三个集合：$A\cup B\cup C=A+B+C-A\cap B-B\cap C-A\cap C+A\cap B\cap C=全集-\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C}$

思路

⛲️
以下是“两个集合”的内容：
一、考点讲解

1. 按属性分
   
   公式：$A\cup B=A＋B-A\cap B=\Omega -\bar{A}\cap \bar{B}$

2. 按区域分
   
   公式：$全集=参加一项+参加两项+都没参加$

以下是“三个集合”的内容：
一、考点讲解

1. 按属性分
   公式：
   
   公式：
   $A\cup B\cup C=A＋B＋C-(A\cap B＋B\cap C＋A\cap C)＋A\cap B\cap C.$
   $A\cup B\cup C=\Omega -\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C}.$

2. 按区域分
   
   公式：
   $全集=参加一项+参加两项+参加三项+都没参加.$
   $A\cup B\cup C=参加一项+参加两项+参加三项.$
   $A+B+C=参加一项+参加两项\times 2+参加三项\times 3.$
   【评注】区分$A\cup B\cup C$及$A＋B＋C$，其中$A\cup B\cup C$不能出现重复的人，$A＋B＋C$会出现重复的人。此外注意，$A\cap B$表示两块区域，即只参加$A\cap B$的和三个都参加的人数。

二、考试解读

1. 集合问题属于联考常规题目，对于三个集合，难度较大，关键需要知道两种模型与文氏图的联系。
2. 难点在于区分$A\cup B\cup C$及$A+B+C$，易错点在于$A\cap B$不要理解为只参加AB的人。
3. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 按属性划分
   思路：先画图，再根据公式$A\cup B\cup C=A＋B＋C-(A\cap B＋B\cap C＋A\cap C)＋A\cap B\cap C$和$A\cup B\cup C=\Omega -\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C}$分析求解。
2. 按区域划分
   思路：要明确每个区域的含义（尤其按照复杂区域划分的题目），再结合各区域之间的公式进行计算。

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1. 按属性分
   
   公式：$A\cup B=A＋B-A\cap B=\Omega -\bar{A}\cap \bar{B}$

2. 按区域分
   
   公式：$全集=参加一项+参加两项+都没参加$

3. 按属性分
   
   公式：
   $A\cup B\cup C=A＋B＋C-(A\cap B＋B\cap C＋A\cap C)＋A\cap B\cap C.$
   $A\cup B\cup C=\Omega -\bar{A}\cap \bar{B}\cap \bar{C}$

4. 按区域分
   
   公式：
   $全集=参加一项+参加两项+参加三项+都没参加$
   $A\cup B\cup C=参加一项+参加两项+参加三项$
   $A+B+C=参加一项+参加两项\times 2+参加三项\times 3$
   【评注】区分$A\cup B\cup C$及$A＋B＋C$，其中$A\cup B\cup C$不能出现重复的人，$A＋B＋C$会出现重复的人。此外注意，$A\cap B$表示两块区域，只参加$A\cap B$的和三个都参加的人数。

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【解题思路】对于集合问题，主要考查两个集合与三个集合的公式。此外，要根据题目把每部分对象的数量准确地在图中标注出来，再根据数量关系求解。

思路

1. 出题模式：三个量（出题思路)
2. 两种出题模式：
   （1）给了每一个圈的量。
   （2）没有给每一个圈的量，要区分两种题目的出题模式然后顺应不同的思路进行求解。
3. 对于同时满足2个元素的部分是否包含同时满足3个元素的问题，如果不包含，题目一定会有非常明确的自然语言的表达，例如 “ 仅仅 ” “ 只有 ” ，如果没有特殊说明，一般两个元素的部分都包含三个元素的部分，此时一定要将 “ 非仅 ” 转化为 “ 仅 ” 。

总结：三个量的出题思路
（1）化参数为主元，引入比例系数k。
（2）多个比例统一问题。
（3）集合问题几何化。

定义

两饼图问题公式：
$N（A\cup B）=N（A）+N（B）-N（A\cap B）$

三饼图问题公式：

$N（A\cup B\cup C）=N（A）+N（B）+N（C）-N（A\cap B）-N（A\cap C）-N（B\cap C）+N（A\cap B\cap C）$

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分段计费

是什么

分段计费是指不同的范围对应着不同的计费方式，在实际中应用很广泛，比如电费，水费、邮费、个税、话费、出租车费、销售提成等等。解题思路的关键点有两个，一个是先计算每个分界点的值，确定所给的数值落入哪个范围；另外，对应选取正确的计费表达式，按照所给的标准进行求解。

怎么做

⛲️

一、考点讲解

1. 适用情况
   分段计费是指不同范围对应不同计费方式，这类问题属于联考常规题目，难度系数不大，但耗时较长，关键点在于找到题目计费标准以及计费部分。
2. 求解过程
   

二、考试解读

1. 分段计费问题在实际生活中应用很广泛，比如水费、出租车费、电话费、邮费、个税、销售提成等。
2. 这类问题的关键点在于根据分段点的数值，锁定题千给的值落入哪个取值范围，因为不同的取值范围，对应的计算费用的公式不同。根据不同范围，选取不同的计算费用公式即可。
3. 要学会双向计算，也就是给原值会算费用，给费用也要会算原值。
4. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 求费用
   思路：已知原值，按照所给的区间，分别计算费用，再求总费用。

2. 求原值
   思路：已知费用求原值的题目要难一些，因为要逆向思维。首先需要求出分界点的数值，判断所给的费用对应的区间，再根据计费方式求解费用。

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1. 适用情况
   分段计费是指不同范围对应不同计费方式，这类问题属于联考常规题目，难度系数不大，但耗时时间较长，关键点在于找到题目计费标准，以及计费部分。
2. 求解过程
   

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【解题思路】分段计费问题在生活中非常普遍，如电费分段计费、水费分段计费等，其关键点是要找到所给数值落入哪个取值区间，再根据计费方式求得费用。

思路

解题思路主要有两个，一是先找出每个分界点适用的值，确定所给的数值该落入哪个范围中，另外对应选取正确的计费表达式，按照题目所给的标准进行求解。

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不定方程

是什么

当方程或方程组种未知数较多，而无法通过解方程的角度来确定数值，这种方程称为不定方程。不定方程必须结合所给的一些性质，如整除、奇数偶数、质数合数、范围大小等特征才能确定答案。

怎么做

⛲️
一、考点讲解

1. 不定方程特征
   在应用题中出现了两个(甚至更多)未知量，而数量关系却少于未知量的个数，我们列出的就是不定方程。不定方程一般是指未知数的个数通常多于方程个数的方程。这样的方程的解通常不止一个。
2. 不定方程求解
   不定方程一般有无数解，但是结合题意，实际只要我们求出无数解中的特殊解，往往是求自然数解或者整数解。有时还要加上其他限制，这时的解就是有限的和确定的了。
   考试中主要是涉及整系数不定方程的整数解，一般要借助整除、奇数偶数、范围等特征来确定数值。

二、考试解读

1. 不定方程往往有无数个解，因而这种方程解的个数由题目中关于未知数的限制条件来决定，故在解题过程中要特别注重对所设未知数的限制条件（有时是隐蔽的）的分析。
2. 解不定方程可以用以下原则来缩小范围。
   【原则一】从系数大的开始讨论。
   【原则二】奇偶性讨论。
   【原则三】倍数原理。
   【原则四】尾数原理（运用条件：出现5的倍数）
3. 不定方程的难点在于对未知数的讨论，准确快速找到整数解是关键。
4. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 整式不定方程
   思路：先根据题目转化为$ax+by=c$形式的不定方程，然后结合整除、倍数和奇偶特征分析讨论求解。
2. 分式不定方程
   思路：对于分式不定方程$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$，先转化为整式方程，进行因式分解，然后讨论取值。
3. 平方不定方程
   思路：结合平方的非负性及平方数的特征进行分析求解。
4. 整体取值不定方程
   思路：本类型不定方程不是分析某一个变量的取值，而是分析某个表达式整体的取值情况，其方法是先由题得到一个等式，然后对系数做变换，转化为不等式，进而讨论范围得到答案。

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【解题思路】方程或方程组中未知数较多，而无法通过解方程的方式来确定数值，这种方程称为不定方程。不定方程必须结合所给的一些性质，如整除、奇数偶数、质数合数、范围大小等特征才能确定答案。

思路

题目中未知数的个数大于方程的个数而无法求出每个未知数的具体数值的时候，这种方程称之为不定方程，不定方程必须根据所给数目的一定性质，例如奇偶性，正整数（真题一般都是正整数），以及数范围大小等特征进行试算确定答案。
注意：一定要区分在条件充分性判断题目中 “ 有 ” 和 ” 确定 “ 表达的区别。

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线性规划

是什么

怎么做

⛲️

一、考点讲解

1. 线性规划特征
   线性规划是运筹学中辅助人们进行科学管理的一种数学方法。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
2. 线性规划解题步骤
   总结起来可以分三步，即“三步法”：
   第一步，根据题目写出限定条件对应的不等式组；
   第二步，将不等式转化为方程，解出边界交点；
   第三步，若交点为整数，则直接带入目标函数求出最值。若交点不是整数，则讨论取整，然后再带入目标函数求出最值。

二、考试解读

1. 这种题目的特点与管理类硕士学位对学生基本素养的要求有较高的契合度，因此近年来受到出题老师的热衷，而且此类题通常是考生的软肋，错误率极高。
2. 线性规划应用题并没有使用高中阶段学习过的方法，即在平面直角坐标系内绘出可行域，再进一步利用单纯形法求得目标函数在可行域内的最值，或者求得目标函数的取值范围，这样做的原因是为了提高学生在考试中的解题速度，因为考试不是学会知识就能得高分，要同时兼备速度与准确度才能在联考中立于不败之地。
3. 考试时为节省时间，可以采用简化面且有效的三步法求解。
4. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 交点为整数点
   思路如果交点为整数点，比较简单，则直接代入目标函数分析即可。
2. 交点为非整数点
   思路如果交点为非整数点，需要讨论其附近的两个整数，得到四个点（x有两种情况，y有两种情况），再将其中能满足要求的点代入目标函数分析即可。

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【解题思路】线性规划是文字应用题的最值问题延使部分，是将定值问题转化为动态问题的过程。线性规划的含义是一次函数找最优解，难点在求最优点取整。一般情况下，可考虑可行域的端点及其附近。

思路

最优解问题的出题模式：
题目通常会给出两种模式的解决方案，然后让我们去通过这两种模式去解决题目中涉及的问题，然后利用花费最少或者成本最少进行合理分配两种模式（线性规划）
但是，线性规划的学院派解法是通过列不等式、画图找出可行域然后进行求解，这种方法很明显在联考这种 “ 速度至上 ” 的考题中是不可取的。我们的通常解法是列出不等式，找出参数的取值范围，然后根据题意进行近似交点取值试算即可。

最优解问题套路性总结及提醒：
（1）不等式是不能相减的，但是对于最优解问题，这只是一个具有局限性的套路总结。
（2）在“ 远，近 ”和“ 便宜，贵 ”的考虑优先级上，“ 便宜，贵 ”第一优先级（优先考虑），其次才是“ 远近 ”。
（3）在最优解问题中，不建议同学们去用线性规划，可行域的套路去做，这样会非常浪费时间，在考试的时候没有可实现性。
（4）等号 - 不等号需要变号（不等号 - 等号不需要变号），注意：只变方向，而非补集。等号 + 不等号是不需要变号的，不等号 + 等号是不需要变号的。

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至少至多

是什么

怎么做

⛲️

一、考点讲解
至少至多问题也属于动态的最值问题，是考生失分率较高的题型，这类题目思路比较灵活，无固定化的公式和结论，所以考生必须灵活处理。

二、考试解读

1. 这类题目难度较大，属于拉分题目。
2. 对于总量不变的情况，可以采用反面思考法，即某部分数量至多(少）转化为其余部分最少(多)。
3. 有时需要画图分析，结合图形来求解更加直观。
4. 考试频率级别:中。

三、命题方向

1. 分蛋糕原理
   思路对于总量固定的题型，要确定某一部分至少（多）的数量，转化为其他部分最多(少)的数量。
2. 平均原理
   思路：先求出所有人全部答对或答错的情况，然后按照标准平均分配，根据分完以后多余的教量来求解至少或至多问题。
3. 表达式变形
   思路：涉及多个变量的表达式问题，其模板是:若已知 $ax+by+cz=d$，求$x+y+z$的至少或至多时，将$ax+by+cz=d$变形为：$所求＋剩余=d$，这样就可以分析至少或至多了。

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至多至少问题也属于动态的最值问题，是考生失分率较高的题型，这类题目思路比较灵活，无固定化的公式和讨论，所以考生必须灵活处理。

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最值问题

是什么

怎么做

⛲️

一、考点讲解
最值问题是应用题中最难的题目，也是考生普遍丢分的题目。最值问题一般要结合函数来分析，一般结合二次函数和平均值定理求解。最值问题的求解步骤是：先设未知变量，然后根据题目建立函数表达式，最后利用函数的特征求解最值。

二、考试解读

1. 应用题的最值问题难度较大，而且计算量也略大，对于基础一般的考生，建议在考试中最后再做。
2. 熟练掌握二次函数和平均值定理是求解最值问题的关键。
3. 函数关系的建立是解题核心，所以要准确理解题意，建立函数表达式。
4. 考试频率级别：中。

三、命题方向

1. 二次函数求最值
   思路：如果出现二次函数，采用抛物线分析求解。

2. 均值定理求最值
   思路：应用平均值定理分析，当和为定值时，乘积有最大值；当积为定值时，和有最小值，对于两个正数，也可记住公式：$a+b\ge 2\sqrt{ab}$。

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最值问题是应用题中最难的题目，也是考生普遍丢分的题目。最值问题一般要结合函数来分析，一般结合二次函数和平均值定理求解。
最值问题的求解步骤是：先设未知变量，然后根据题目建立函数表达式，接着利用函数的特征求解最值。

思路

应用题与二次函数的综合求最值问题：主要利用二次函数的顶点公式求解，较为简单，注意定义域即可。
这种题目的出题模式非常固定：即这种题目通常以利润问题出现，然后问我们利润的取得最值时售价为多少。
出题模式很固定：
A.商品每上涨n元，少卖m件；
B.商品每下降n元，多卖m件；
固定解题思路：设上涨/下降x个n元。

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植树问题

是什么

怎么做

⛲️

一、考点讲解

1. 开放型植树
   $植树数量=\frac{总长}{间隔}+1$
2. 封闭型植树
   $植树数量=\frac{总长}{间距}$

二、考试解读

1. 本考点要注意开放型与封闭型植树公式的区别。
2. 本考点的难点在于变间距的植树问题与最小公倍数结合考查。
3. 考试频率级别:中。

三、命题方向

1. 开放型植树
   思路：遇到变间距的植树问题，要与最小公倍数结合思考。

2. 封闭型植树
   思路：无论是三角形、四边形还是圆形，只要是封闭型植树，则植树的数量=周长÷间距。

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【解题思路】植树问题属于等距离问题。对于直线形植树问题，树的数量等于路的总长除以间隔的距离再加1；对于圆形植树问题，树的数量等于路的总长除以间隔的距离，不用再加1了。

思路

对于直线型（开放型）植树问题，如果长度为k米，每隔n米植树，则一共需要$\frac{k}{n}+1$ 棵树，对于圆圈型（封闭型）植树问题，如果周长为k米，每隔n米植树，则一共需要$\frac{k}{n}$ 棵树。

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年龄问题

是什么

：年龄问题的特点有两个：一个是年龄差值恒定，另一个是年龄同步增长。但要注意年龄，要选好年份，如果年龄计算得到矛盾，有可能是几年前还未出生。

怎么做

⛲️

一、考点讲解

1. 年龄同步增长
   n年后，每人都增加n岁。
2. 年龄差值不变
   两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

二、考试解读

1. 年龄问题的关键是选取参照年份．年龄问题的特点有两个：一个是差值恒定，另一个是同步增长。
2. 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. 年龄问题
   思路年龄问题要注意参考年份。年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

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【解题思路】年龄问题的特点有两个：一个是年龄的差值恒定；另一个是年龄同步增长。注意，年龄要选好参照年份。如果年龄计算得到矛盾，看看几年前是否还未出生，因为出生后才对年龄有影响。

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鸡兔同笼问题

是什么

怎么做

⛲️

一、考点讲解

1. 第一鸡兔同笼问题
   若已知脚数之和及鸡兔总数，求各多少只：
   假设全都是鸡，则有
   $兔数=(实际脚数-2\times 鸡兔总数)÷(4-2)$
   假设全都是兔，则有
   $兔数=(4\times 鸡兔总数-实际脚数)÷(4-2)$
2. 第二鸡兔同笼问题
   若已知脚数之差及鸡兔总数，求各多少只：
   假设全都是鸡，则有
   $兔数=(2\times 鸡兔总数-鸡与兔脚数之差)÷(4+2)$
   假设全都是兔，则有
   $鸡数=(4\times 鸡兔总数＋鸡与兔脚数之差)÷(4＋2)$

二、考试解读

1. 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔，这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
2. 一定要先理解公式，掌握原理，这样套上述公式求解才不会出错。
3. 考试频率级别：低。

三、命题方向

1. 第一鸡兔同笼问题
   思路：已知笼子里鸡、兔共有多少只和共多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫作第一鸡兔同笼问题，奋上述公式求解即可。

2. 第二鸡兔同笼问题
   思路：已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各有多少只的问题，叫作第二鸡兔同笼问题。套上述公式求解即可。

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【解题思路】鸡兔同笼问题是典型的数量混合问题，根据两者腿的数量关系得到两者的比例，就可以得到所求的数量。

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