【数据结构】时间复杂度和空间复杂度

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作者简介 ：RO-BERRY
学习方向：致力于C、C++、数据结构、TCP/IP、数据库等等一系列知识
日后方向 : 偏向于CPP开发以及大数据方向，欢迎各位关注，谢谢各位的支持

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前言

在学习这个知识之前我们先了解几个概念

1. 什么是数据结构？

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

2.什么是算法？

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果

3.数据结构和算法的重要性

在校园招聘的笔试中：
目前校园招聘笔试一般采用Online Judge形式， 一般都是20-30道选择题+2道编程题，或者3-4道编程题
现在公司对学生代码能力的要求是越来越高了，大厂笔试中几乎全是算法题而且难度
大，中小长的笔试中才会有算法题。算法不仅笔试中考察，面试中面试官基本都会让现场写代码。而算法能力短期内无法快速提高了，至少需要持续半年以上算法训练积累，否则真正校招时笔试会很艰难，因此算法要早早准备。

算法的学习是非常重要的，那算法学到什么程序才算学通？很简单学算法的有个必备的基础功「白板编程」，即用笔和纸就可以把一个算法手写出来。举个例子快速排序，这个算法你脑子里能第一时间把它理清思路吗？随后还能手写的出来吗？

算法是一门非常深奥的学科，除了一些基础的算法，还有非常多更高阶的内容。但要知道所有的编程技术，都是为了解决现实生活中某个实际问题。算法也是如此。

很多人学算法学不明白或者觉得很难，就是因为这些晦涩难懂的算法，在实际的编程中你很难应用到。做编程 90% 的人是没学过算法，但不妨碍别人开发做的牛逼。然而不懂算法的人，是很难进阶到高阶的岗位，也就是我们俗称的码农。

那算法在实际应用中有什么用？举个例子布隆过滤器算法(Bloom Filter)，非常经典的一个去重算法。它能非常高效的进行各种去重，提高你的运行效率。

程序的效率提高它能得到收益？再来看个例子 2018 年淘宝双 11，开场 21 秒交易额超 10 亿，每秒就是 0.47 亿。淘宝的程序多优化一秒就能多带来 0.47 亿交易额。
而在我们现实生活中有无数这样的例子，多优化这一秒就能给公司带来巨大的收益。

4.如何学好数据结构和算法

1. 啃书刷题
2. 跟着视频学习
3. 参加算法比赛

一切都需要我们的不断努力，循序渐进，慢慢来，一切都会好，如今种下的果实，迟早会开花结果，只分早迟

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1.算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
	if(N < 3)
		return 1;
	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。
一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？
是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}

第一个for循环里使用了嵌套，两个for循环嵌套，终止条件均是小于N，即内循环一轮是N次，外循环是N次，总循环NN
第二个for循环终止条件为小于2N，即循环2*N次
第三个while循环终止条件为M，即M等于0的时候终止，M=10，即循环10次

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• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

我们会发现当N越来越大的时候，对于F（N）的值，2*N和10的影响越来越小，而我们的N方是起到决定性因素的。

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为

O(2N)

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3常见时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

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实例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

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实例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
	++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

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实例4:

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

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实例5：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n-1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid-1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

3.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i-1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i-1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
	if (exchange == 0)
		break;
	}
}

使用的格外空间也就是exchange，常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if(n==0)
		return NULL;
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
	}
	return fibArray;
}

动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if(N == 0)
		return 1;
	return Fac(N-1)*N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

4. 常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下: