寒假每日一题——愤怒的奶牛

愤怒的奶牛

问题描述

奶牛贝茜设计了一款她认为必火的游戏：愤怒的奶牛。

游戏设定（她坚信这是她的原创）是玩家用一个弹弓将一头奶牛射向一个数轴，数轴的不同位置上分布着一些干草捆。

奶牛以足够的力量砸向某个干草捆，并使得该干草捆发生爆炸，爆炸可能会不断引起连锁反应，导致更多的干草捆发生爆炸。

目标是用一头奶牛引起的连锁反应引爆尽可能多的干草捆。

共有 N 个干草捆位于数轴中的不同整数位置，其坐标依次为 x1,x2,…,xN。

如果将奶牛射向位于位置 x 的干草捆，则该干草捆发生爆炸，爆炸半径为 1，爆炸将吞噬 1 单位距离内的所有干草捆。

然后这些干草捆（全部同时）发生爆炸，每个干草捆的爆炸半径为 2。

二次爆炸中吞噬的所有尚未爆炸的干草捆也（全部同时）发生爆炸，爆炸半径为 3。

也就是说，在 t 时刻爆炸的干草捆的爆炸半径为 t，其爆炸波及的干草捆在 t+1 时刻也会爆炸，爆炸半径为 t+1，以此类推。

请确定，通过合理选择奶牛射向的干草捆，能够引爆的干草捆最大数量。

输入格式
第一行包含整数 N。

接下来 N 行包含 x1,…,xN。

输出格式
输出能够引爆的干草捆的最大数量。

数据范围

1≤N≤100, 0≤xi≤$10^9$

输入样例：

6
8
5
6
13
3
4

输出样例：

5

样例解释
将奶牛射向位于位置 5 的干草捆，产生半径为 1 的爆炸。
爆炸吞噬位置 4 和 6 处的干草捆，引发半径为 2 的二次爆炸。
二次爆炸吞噬位置 3 和 8 处的干草捆，引发半径为 3 的三次爆炸。
位置 13 的干草捆无法被引爆。

方法一

暴力引爆每一个点

取L，R两个左右边界

每次向两边延伸

以L为例子，每次找一个大于等于 *L + t 的点，如果这点是新点，则更新L，否则就是最远点

取两端边界距离为答案

完整代码

#include 
using namespace std;

int n;
int ans;

int main()
{
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    
    for(auto i = a.begin(); i != a.end(); i++)
    {
        auto l = i, r = i;
        int tl = 1, tr = 1;
        while(lower_bound(a.begin(), l, *l - tl) != l) l = lower_bound(a.begin(), l, *l - tl++);
        while(--upper_bound(r, a.end(), *r + tr) != r) r = --upper_bound(r, a.end(), *r + tr++);
        ans = max(ans, (int)(r - l + 1));
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

代码理解

关于lower_bound 和 upper_bound的使用

这两个函数均为二分查找， 所以 原数组必须有序
lower_bound 返回 第一个大于等于 x 的地址
upper_bound 返回 第一个大于 x 的地址

示例

#include 
using namespace std;

int n;
int ans;

int main()
{
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    
    auto x = lower_bound(a.begin(), a.end(), 3);
    printf("lower_bound:%d\n", x);
    
    x = upper_bound(a.begin(), a.end(), 3);
    printf("upper_bound:%d\n", x);
    
    return 0;
}

#include 
using namespace std;

int n;
int ans;

int main()
{
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    
    auto x = lower_bound(a.begin(), a.end(), 3);
    printf("lower_bound:%d\n", x);
    
    x = upper_bound(a.begin(), a.end(), 2);//这里改成了2
    printf("upper_bound:%d\n", x);
    
    return 0;
}

如果我们需要的是 小于等于 x 的最后一个数
比如 该样例中 3 4 5 6 8 13
我想要知道小于等于8的最后一个数 也就是 8
那么，我们可以先用 upper_bound 找到大于 8 的第一个数 也就是 13
然后再进行自减运算 即 --upper_bound 就能找到小于等于8的最后一个数

示例

#include 
using namespace std;

int n;
int ans;

int main()
{
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    
    auto x = upper_bound(a.begin(), a.end(), 8);
    printf("x's address:%d\n", x);
    printf("x:%d\n", *x);
    
    auto y = --upper_bound(a.begin(), a.end(), 8);
    printf("y's address:%d\n", y);
    printf("y:%d\n",*y);
    return 0;
}

方法二——BFS

#include 
using namespace std;

const int N = 110;
int a[N];
int n;
unordered_map<int, int> mp;
int ans;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        mp[a[i]] = -1;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        auto st = mp;
        st[a[i]] = 1;
        int num = 0;
        queue<int> q;
        q.push(a[i]);
        while(!q.empty())
        {
            int t = q.front();
            q.pop();
            num++;
            for(int i = -st[t]; i <= st[t]; i++)
            {
                if(st[i + t] == -1) 
                {
                    q.push(i + t);
                    st[i + t] = st[t] + 1;
                }
            }
        }
        ans = max(ans, num);
    }
    
    cout << ans << endl;
    return 0;
}