为什么你感受不到数学的美?

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原文转载自:赛先生

提到数学之美,你会想到哪些关键词?可能每个人对数学及美的理解都不尽相同。中国科学院院士、中国科学院数学与系统科学研究院研究员袁亚湘所著《数学漫谈》一书记录了这位数学家对于数学之美的理解和诠释,今天我们推送这本书的第二章,让袁院士带我们领略数学之美的所在——对称、简洁、极致

撰文|袁亚湘

几乎所有的数学家都认为数学是优美的。学过泛函分析的学生都知道著名的Han-Banach定理。这个定理的提出者巴拿赫曾说过,“数学是人类最美及最有力的创造”。

巴拿赫(1892~1945)

数学的美体现在很多方面,其中之一是对称美。对称是自然界之美的一种表现形式,在动物、植物以及自然景观中,对称的现象随处可见:美丽的蝴蝶、灵动的蜻蜓、开屏的孔雀都是左右对称的;宽大的荷叶、火红的枫叶等许多植物叶片也是对称的;晶莹的雪花、横空的彩虹同样是对称的。

自然界中对称的例子比比皆是

对称在数学中随处可见。古希腊著名哲学家亚里士多德曾说过:“数学科学特别表现次序、对称和限制,这些是美的最高形式”。

亚里士多德(约384BC-322BC)

几何中很多图形具有对称性,比如平面上的长方形、圆形、等腰三角形,立体图形中的立方体、圆柱体、球体等。平面上的对称图形有一条或多条对称轴,而对称立体图形则有一个或多个对称面。高维空间中人们所研究的集合不少也有对称性。

在现实生活中,直线是一维、平面是二维、立体是三维,如果把时间考虑进来,就有四维空间。在数学中,可以考虑任意高维的空间。更有意思的是,还有分数维空间。分形作为欧氏空间中的自相似子集,其维数通常都不是整数。大多数分形的图形都非常惊艳,下面给出一些例子。

代数中也有大量的对称,从小学的a乘b等于b乘a,到中学的对称多项式,乃至大学的对称矩阵、对称群等等都是对称的例子。对称性还为数学中的许多分析技巧、证明方法提供了思路。

对称多项式

上述亚里士多德在谈对称时,还提到了次序。“序”是数学中重要的概念,有序的事情是和谐的、美好的。德国数学家、哲学家莱布尼茨曾说过:“次序、对称、和谐让我们陶醉,……上帝是纯粹有序的,他是宇宙和谐的缔造者。”

莱布尼茨(1646-1716)

莱布尼茨与牛顿独立创立了微积分,现在我们微积分所用的数学符号均源自于他。莱布尼茨的职业是律师,他发明及完善了二进制。据说这一发明与中国密切相关:相传法国数学家、传教士白晋把中国外圆内方的易经八卦图送给过莱布尼茨,这对他发明二进制有启发作用。

白晋(1662-1732)

文至此处,读者或许会有疑问,数学如此美妙,为何很多人并未感同身受呢?事实上,欣赏美需要了解的过程和鉴别的能力。正所谓,盲人不会认为眼前的风景值得流连,动听的音乐不会掀起聋人的波澜心情,一个从小到大不吃辣的人无法理解我这个湖南人口中的辣椒美味。欣赏数学也是一个道理。如果你从不曾走进数学的世界,用心领会和感悟那数字、图形、逻辑的出神入化,又怎么会觉得它美妙呢?

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