算法Day34|动态规划专题六 198.打家劫舍，213.打家劫舍II，337.打家劫舍 III

198.打家劫舍

  1.题目描述

• 你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
• 给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

2.解题思路 

• 动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

•  1.确定dp数组以及下标的含义
  •   dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。
• 2.确定递推公式
  • 如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
  • 如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）
  • 然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
• 3.dp数组如何初始化
  • 从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
  • 从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

• 4.确定遍历顺序
  • dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！
• 5.举例推导dp数组
  • 以示例二，输入[2,7,9,3,1]为例。

3.代码实现

class Solution {
   //198.打家劫舍
    public int rob(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if (n == 1) return nums[0];
        //dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            //考虑i号房间：dp[i - 2] + nums[i]
            //不考虑i号房间：dp[i-1]
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

213.打家劫舍II

1.题目描述

• 你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。
• 给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

2.解题思路 

• 这道题目和198.打家劫舍 (opens new window)是差不多的，唯一区别就是成环了。
• 对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
  • 情况一：考虑不包含首尾元素

• 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素

• 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素

• 注意我这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。
• 而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。

3.代码实现

class Solution {
    //213.打家劫舍II
    public int rob(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) return nums[0];
        //考虑尾部元素，不考虑头部元素
        int res1 = robInRange(nums, 1, nums.length - 1);
        //考虑头部元素，不考虑尾部元素
        int res2 = robInRange(nums, 0, nums.length - 2);
        return Math.max(res1, res2);
    }

    public int robInRange(int[] nums, int start, int end) {
        if (start == end) return nums[start];
        //dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[start] = nums[start];
        dp[start + 1] = Math.max(nums[start], nums[start + 1]);
        for (int i = start + 2; i <= end; i++) {
            //考虑i号房间：dp[i - 2] + nums[i]
            //不考虑i号房间：dp[i-1]
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        }
        return dp[end];
    }
}

337.打家劫舍 III

1.题目描述

• 小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。
• 除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。
• 给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。

 2.解题思路 

•  1.确定dp数组以及下标的含义
  • 这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。

     /**
     * @param root 当前节点
     * @return 一个长度为2的数组
     *   下标为0：不偷当前节点所能得到的最大金额
     *   下标为1：偷当前节点所能得到的最大金额
     */
    public int[] robArray(TreeNode root) {}

• 2.确定递推公式

  • 情况1：不偷当前节点

    • int res1 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);

  • 情况2：偷当前节点，那么左右孩子就不能偷

    • int res2 = root.val + left[0] + right[0];

  • 最后当前节点的状态就是{res1, res2}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

        //后序遍历
        int[] left = robArray(root.left);
        int[] right = robArray(root.right);
        //情况1：不偷当前节点
        int res1 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
        //情况2：偷当前节点
        int res2 = root.val + left[0] + right[0];
        return new int[]{res1, res2};

• 3.dp数组如何初始化
  • 在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回

• 4.确定遍历顺序
  • 首先明确的是使用后序遍历。 因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。
  • 通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
  • 通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
• 5.举例推导dp数组
  • 以示例1为例，dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）

 最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。

  3.代码实现

class Solution {
   //337.打家劫舍 III
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] dp;
        dp = robArray(root);
        return Math.max(dp[0], dp[1]);
    }

    /**
     * @param root 当前节点
     * @return 一个长度为2的数组
     *   下标为0：不偷当前节点所能得到的最大金额
     *   下标为1：偷当前节点所能得到的最大金额
     */
    public int[] robArray(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return new int[]{0, 0};
        }
        //后序遍历
        int[] left = robArray(root.left);
        int[] right = robArray(root.right);
        //情况1：不偷当前节点
        int res1 = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
        //情况2：偷当前节点
        int res2 = root.val + left[0] + right[0];
        return new int[]{res1, res2};
    }
}