LeetCode 64. 最小路径和（动态规划）

题目：

链接：LeetCode 64. 最小路径和
难度：中等
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给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 100

动态规划：

dp[ i ][ j ] 状态定义：从左上角位置(0, 0)走到位置(i, j)的最小路径和。

状态转移方程：dp[ i ][ j ] = min(dp[ i - 1 ][ j ] + grid[ i ][ j ], dp[ i ][ j - 1] + grid[ i ][ j ])
在遍历过程中 dp[ i ][ j ] 有两种选择：要么从左边一格[ i ][ j - 1 ]移动过来，要么从上面一格[ i - 1 ][ j ]移动过来，选择两条路中数值和较小的那一条。

base case：dp[0][0] = grid[0][0]
左上角第一格是起始点，必选。

代码：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n));
        // base case
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i < m; ++i) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]; // 第一列特殊处理
        for(int j = 1; j < n; ++j) dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]; // 第一行特殊处理
        for(int i = 1; i < m; ++i)
            for(int j = 1; j < n; ++j)
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + grid[i][j], dp[i][j - 1] + grid[i][j]); //状态转移方程
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

时间复杂度O(m * n），空间复杂度O(m* n)。