Nim游戏博弈论

【模板】nim 游戏

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P2197

甲,乙两个人玩 nim 取石子游戏。

nim 游戏的规则是这样的:地上有 n n n 堆石子(每堆石子数量小于 1 0 4 10^4 104),每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉,可以取完,不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手,且告诉你这 n n n 堆石子的数量,他想知道是否存在先手必胜的策略。

输入格式

本题有多组测试数据。

第一行一个整数 T T T T ≤ 10 T\le10 T10),表示有 T T T 组数据

接下来每两行是一组数据,第一行一个整数 n n n,表示有 n n n 堆石子, n ≤ 1 0 4 n\le10^4 n104

第二行有 n n n 个数,表示每一堆石子的数量.

输出格式

T T T 行,每行表示如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出 Yes,否则输出 No

样例 #1

样例输入 #1

2
2
1 1
2
1 0

样例输出 #1

No
Yes

思路

如果初态为必胜态 a 1 ∧ a 2 ∧ a 3 . . . ∧ a n ! = 0 a_1 \land a_2 \land a_3 .. . \land a_n!=0 a1a2a3...an!=0,则先手必胜。

如果初态为必败态,即上式结果为0,则先手必败

证明:

  1. 必胜态一定可以给对手留下一个必败态

s = a 1 ∧ . . . ∧ a n ! = 0 s=a_1 \land ... \land a_n!=0 s=a1...an!=0,设s的二进制为1的最高位为k

那么一定有奇数个 a i a_i ai的二进制位的第k位为1,我们使用 a i ∧ s a_i\land s ais替换 a i a_i ai,那么

a 1 ∧ . . . ∧ a i ∧ s . . . ∧ a n = s ∧ s = 0 a_1 \land ... \land a_i \land s... \land a_n=s \land s=0 a1...ais...an=ss=0

同时可以保证 a i ∧ s < a i a_i \land sais<ai

  1. 必败态一定给对手留下必胜态

因为必败态 a 1 ∧ a 2 . . . ∧ a n = 0 a_1 \land a_2 ... \land a_n=0 a1a2...an=0,看二进制位上面1的个数,相同位上面1的个数一定是偶数个,因此无论减少哪个数,异或和都不为0了,即给对手一个必胜态

代码

#include 

#define int long long
using namespace std;


signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n, x;
        cin >> n;
        int res = 0;
        while (n--) {
            cin >> x;
            res ^= x;
        }
        cout << (res ? "Yes" : "No") << endl;
    }
    return 0;
}

取火柴游戏

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P1247

输入 k k k k k k 个整数 n 1 , n 2 , ⋯   , n k n_1,n_2,\cdots,n_k n1,n2,,nk,表示有 k k k 堆火柴棒,第 i i i 堆火柴棒的根数为 n i n_i ni;接着便是你和计算机取火柴棒的对弈游戏。取的规则如下:每次可以从一堆中取走若干根火柴,也可以一堆全部取走,但不允许跨堆取,也不允许不取。

谁取走最后一根火柴为胜利者。

例如: k = 2 k=2 k=2 n 1 = n 2 = 2 n_1=n_2=2 n1=n2=2,A 代表你,P 代表计算机,若决定 A 先取:

  • A: ( 2 , 2 ) → ( 1 , 2 ) (2,2) \rightarrow (1,2) (2,2)(1,2),即从第一堆中取一根。
  • P: ( 1 , 2 ) → ( 1 , 1 ) (1,2) \rightarrow (1,1) (1,2)(1,1),即从第二堆中取一根。
  • A: ( 1 , 1 ) → ( 1 , 0 ) (1,1) \rightarrow (1,0) (1,1)(1,0)
  • P: ( 1 , 0 ) → ( 0 , 0 ) (1,0) \rightarrow (0,0) (1,0)(0,0)。P 胜利。

如果决定 A A A 后取:

  • P: ( 2 , 2 ) → ( 2 , 0 ) (2,2) \rightarrow (2,0) (2,2)(2,0)
  • A: ( 2 , 0 ) → ( 0 , 0 ) (2,0) \rightarrow (0,0) (2,0)(0,0)。A 胜利。

又如 k = 3 k=3 k=3 n 1 = 1 n_1=1 n1=1 n 2 = 2 n_2=2 n2=2 n 3 = 3 n_3=3 n3=3 A A A 决定后取:

  • P: ( 1 , 2 , 3 ) → ( 0 , 2 , 3 ) (1,2,3) \rightarrow (0,2,3) (1,2,3)(0,2,3)
  • A: ( 0 , 2 , 3 ) → ( 0 , 2 , 2 ) (0,2,3) \rightarrow (0,2,2) (0,2,3)(0,2,2)
  • A 已将游戏归结为 ( 2 , 2 ) (2,2) (2,2) 的情况,不管 P 如何取 A 都必胜。

编一个程序,在给出初始状态之后,判断是先取必胜还是先取必败,如果是先取必胜,请输出第一次该如何取。如果是先取必败,则输出 lose

输入格式

第一行,一个正整数 k k k

第二行, k k k 个整数 n 1 , n 2 , ⋯   , n k n_1,n_2,\cdots,n_k n1,n2,,nk

输出格式

如果是先取必胜,请在第一行输出两个整数 a , b a,b a,b,表示第一次从第 b b b 堆取出 a a a 个。第二行为第一次取火柴后的状态。如果有多种答案,则输出 ⟨ b , a ⟩ \lang b,a\rang b,a 字典序最小的答案( 即 b b b 最小的前提下,使 a a a 最小)。

如果是先取必败,则输出 lose

样例 #1

样例输入 #1

3
3 6 9

样例输出 #1

4 3
3 6 5

样例 #2

样例输入 #2

4
15 22 19 10

样例输出 #2

lose

提示

数据范围及约定

对于全部数据, k ≤ 500000 k \le 500000 k500000 n i ≤ 1 0 9 n_i \le 10^9 ni109

思路

与上一题的Nim游戏一样,这里需要特殊输出第一次拿走的数量

代码

#include 

#define int long long
using namespace std;


signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1);
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        res ^= a[i];
    }
    if (!res) {
        cout << "lose";
    } else {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if ((a[i] ^ res) < a[i]) {
                cout << (a[i] - (a[i] ^ res)) << " " << i << endl;
                a[i] = a[i] ^ res;
                break;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cout << a[i] << " \n"[i == n];
        }
    }


    return 0;
}

取数游戏 II

题目描述

有一个取数的游戏。初始时,给出一个环,环上的每条边上都有一个非负整数。这些整数中至少有一个 0 0 0。然后,将一枚硬币放在环上的一个节点上。两个玩家就是以这个放硬币的节点为起点开始这个游戏,两人轮流取数,取数的规则如下:

  1. 选择硬币左边或者右边的一条边,并且边上的数非 0 0 0

  2. 将这条边上的数减至任意一个非负整数(至少要有所减小);

  3. 将硬币移至边的另一端。

如果轮到一个玩家走,这时硬币左右两边的边上的数值都是 0 0 0,那么这个玩家就输了。

如下图,描述的是 Alice 和 Bob 两人的对弈过程(其中黑色节点表示硬币所在节点)。

Nim游戏博弈论_第1张图片

各图的结果为:

A \text{A} A:Alice 胜; B \text{B} B:Bob 胜; C \text{C} C:Alice 胜; D \text{D} D:Bob 胜。

D \text{D} D 中,轮到 Bob 走时,硬币两边的边上都是 0 0 0,所以 Alice 获胜。

现在,你的任务就是根据给出的环、边上的数值以及起点(硬币所在位置),判断先走方是否有必胜的策略。

输入格式

第一行一个整数 N N N ( N ≤ 20 ) (N \leq 20) (N20),表示环上的节点数。

第二行 N N N 个数,数值不超过 30 30 30,依次表示 N N N 条边上的数值。硬币的起始位置在第一条边与最后一条边之间的节点上。

输出格式

仅一行。若存在必胜策略,则输出 YES,否则输出 NO

样例 #1

样例输入 #1

4
2 5 3 0

样例输出 #1

YES

样例 #2

样例输入 #2

3
0 0 0

样例输出 #2

NO

思路

要么一直顺时针走,要么一直逆时针走,每次走的时候一定是把这条边减小为0,否则对手可以反过来走,让你变成失败。

找第一个为0的位置,看初始点到这个点要走多少次,奇数次则先手获胜。

代码

#include 

#define int long long
#define yes cout << "YES" << endl;
#define no cout << "NO" << endl;
#define IOS cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
#define cxk 1
#define debug(s, x) if (cxk) cout << "#debug:(" << s << ")=" << x << endl;
using namespace std;

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    int cnt1 = 0, cnt2 = 0;
    for (int i = 1; i <= n && a[i]; i++, cnt1++);
    for (int i = n; i >= 1 && a[i]; i--, cnt2++);
    if (cnt1 & 1 || cnt2 & 1) {
        yes
    } else {
        no
    }
}

signed main() {
    IOS
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("../test.in", "r", stdin);
    freopen("../test.out", "w", stdout);
#endif
    int _ = 1;
    while (_--) solve();
    return 0;
}

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