余切拉普拉斯算子推导 cotangent Laplace-Beltrami operator

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参考自polygon mesh proccessing这本书

基本思路及原理

余切拉普拉斯算子是一种考虑了网格底层几何联系的一种算子,在网格平滑,参数化等算法中经常被用到。它是受到了有限元思绪启发推导出来的。
用到有限元中的散度定理。
目标是对三角平面分片线性函数的梯度的散度进行面积积分。
散度定理如下,对散度的面积分,可以转化为梯度对边界的线积分。
∫ A i d i v    F ( u ) d ⁡ A = ∫ ∂ A i F ( u ) ⋅ n ( u ) d ⁡ s \int_{A_i}div\;F(u)\operatorname dA = \int_{\partial A_i}F(u) \cdot n(u) \operatorname ds AidivF(u)dA=AiF(u)n(u)ds

上述式子把对 A i 面积的积分和对 A i 边界( ∂ A i )的积分联系起来。 其中 n 代表与三角形共面并垂直于边界向外的单位向量。 上述式子把对A_i面积的积分和对A_i边界(\partial A_i)的积分联系起来。\\其中 \boldsymbol n 代表与三角形共面并垂直于边界向外的单位向量。 上述式子把对Ai面积的积分和对Ai边界(Ai)的积分联系起来。其中n代表与三角形共面并垂直于边界向外的单位向量。

拉普拉斯积分推导

余切拉普拉斯算子推导 cotangent Laplace-Beltrami operator_第1张图片
将上述定理应用于拉普拉斯,可以得到下述公式

∫ A i Δ f ( u ) d ⁡ A = ∫ A i d i v ∇ f ( u ) d ⁡ A = ∫ ∂ A i ∇ f ( u ) ⋅ n ( u ) d ⁡ s \int_{A_i}{\Delta f(\boldsymbol u) \operatorname d A} = \int_{A_i}{div \nabla f(\boldsymbol u) \operatorname dA} =\int_{\partial A_i}{\nabla f(\boldsymbol u) \cdot \boldsymbol {n(u)} \operatorname d s} AiΔf(u)dA=Aidivf(u)dA=Aif(u)n(u)ds

我们可以对每个三角内的区域进行积分,如上图的右图,对于单个三角形,积分如下,三角形的梯度是常量可以提出来,a和b是中点。

∫ ∂ A i ∩ T ∇ f ( u ) ⋅ n ( u ) d ⁡ s = ∇ f ( u ) ⋅ ∫ ∂ A i ∩ T n ( u ) d ⁡ s = ∇ f ( u ) ⋅ ( a − b ) ⊥ = 1 2 ∇ f ( u ) ⋅ ( x j − x k ) ⊥ \int_{\partial A_i \cap T}{\nabla f(\boldsymbol u) \cdot \boldsymbol {n(u)} \operatorname d s} = \nabla f(\boldsymbol u) \cdot \int_{\partial A_i \cap T}{\boldsymbol {n(u)} \operatorname d s}= \nabla f(\boldsymbol u) \cdot (\boldsymbol a-\boldsymbol b)^\perp\\ =\frac 1 2 \nabla f(\boldsymbol u) \cdot (\boldsymbol {x_j}-\boldsymbol {x_k})^\perp AiTf(u)n(u)ds=f(u)AiTn(u)dsf(u)(ab)=21f(u)(xjxk)

下面解释一下上式中(a-b)怎么来的。

余切拉普拉斯算子推导 cotangent Laplace-Beltrami operator_第2张图片
我们先把线的法向转90度与中间的小三角形平齐。
对线的积分就是乘上线的长度,所以旋转以后的分积就是小三角形三条边形成的向量。
原来积分的结果应该是
(a-c)+(c-b)

由于(a-c)+(c-b)+(b-a)=0
所以(a-b) = (a-c)+(c-b)

转化成余切形式

三角形的梯度是一个常量,代入上式,得到

∫ ∂ A i ∩ T ∇ f ( u ) ⋅ n ( u ) d ⁡ s = ( f j − f i ) ( x i − x k ) ⊥ ⋅ ( x j − x k ) ⊥ 4 A T + ( f k − f i ) ( x j − x i ) ⊥ ⋅ ( x j − x k ) ⊥ 4 A T \int_{\partial A_i \cap T}{\nabla f(\boldsymbol u) \cdot \boldsymbol {n(u)} \operatorname d s} = (f_j-f_i)\frac {(x_i-x_k)^\perp \cdot (x_j-x_k)^\perp}{4A_T} + (f_k-f_i)\frac {(x_j-x_i)^\perp \cdot (x_j-x_k)^\perp}{4A_T} AiTf(u)n(u)ds=(fjfi)4AT(xixk)(xjxk)+(fkfi)4AT(xjxi)(xjxk)

向量的点乘和叉乘可以转化成余弦和正弦。

γ j , γ k 表示 v j , v k 点上对应的角 \gamma_j,\gamma_k表示 v_j, v_k 点上对应的角 γj,γk表示vj,vk点上对应的角

面积
A T = 1 2 s i n γ j ∥ x j − x i ∥ ∥ x j − x k ∥ = 1 2 s i n γ k ∥ x i − x k ∥ ∥ x j − x k ∥ A_T=\frac {1} {2} sin \gamma_j\left\|x_j-x_i\right\|\left\|x_j-x_k\right\|=\frac {1} {2} sin \gamma_k\left\|x_i-x_k\right\|\left\|x_j-x_k\right\| AT=21sinγjxjxixjxk=21sinγkxixkxjxk

点乘
c o s γ j = ( x j − x i ) ⋅ ( x j − x k ) ∥ x j − x i ∥ ∥ x j − x k ∥ cos \gamma_j = \frac {(x_j-x_i)\cdot(x_j-x_k)}{\left\|x_j-x_i\right\|\left\|x_j-x_k\right\|} cosγj=xjxixjxk(xjxi)(xjxk)

c o s γ k = ( x i − x k ) ⋅ ( x j − x k ) ∥ x i − x k ∥ ∥ x j − x k ∥ cos \gamma_k = \frac {(x_i-x_k)\cdot(x_j-x_k)}{\left\|x_i-x_k\right\|\left\|x_j-x_k\right\|} cosγk=xixkxjxk(xixk)(xjxk)

将上面公式代入式子可得到

∫ ∂ A i ∩ T ∇ f ( u ) ⋅ n ( u ) d ⁡ s = 1 2 ( c o t γ k ( f j − f i ) + c o t γ j ( f k − f i ) ) \int_{\partial A_i \cap T}{\nabla f(\boldsymbol u) \cdot \boldsymbol {n(u)} \operatorname d s} = \frac 1 2 (cot \gamma_k(f_j-f_i)+cot \gamma_j(f_k-f_i)) AiTf(u)n(u)ds=21(cotγk(fjfi)+cotγj(fkfi))

上面公式是对一个三角形内区域的积分。
把所有三角形各分加起来,可以发现每条边都对应两个角(看最上面那张图左边),整体公式如下。

∫ A i Δ f ( u ) d ⁡ A = 1 2 [ ∑ v j ∈ N ( v i ) ( c o t α i , j + c o t β i , j ) ( f j − f i ) ] \int_{A_i}{\Delta f(\boldsymbol u) \operatorname d A} = \frac 1 2 \left [\displaystyle \sum_{v_j\in N(v_i)}(cot \alpha_{i,j}+cot \beta_{i,j})(f_j-f_i)\right ] AiΔf(u)dA=21 vjN(vi)(cotαi,j+cotβi,j)(fjfi)

得到点的拉普拉斯公式如下

Δ f ( v i ) = 1 2 A i [ ∑ v j ∈ N ( v i ) ( c o t α i , j + c o t β i , j ) ( f j − f i ) ] \Delta f(v_i) = \frac {1} {2A_i} \left [\displaystyle \sum_{v_j\in N(v_i)}(cot \alpha_{i,j}+cot \beta_{i,j})(f_j-f_i)\right ] Δf(vi)=2Ai1 vjN(vi)(cotαi,j+cotβi,j)(fjfi)


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