余切拉普拉斯算子推导 cotangent Laplace-Beltrami operator

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参考自polygon mesh proccessing这本书

基本思路及原理

余切拉普拉斯算子是一种考虑了网格底层几何联系的一种算子，在网格平滑，参数化等算法中经常被用到。它是受到了有限元思绪启发推导出来的。
用到有限元中的散度定理。
目标是对三角平面分片线性函数的梯度的散度进行面积积分。
散度定理如下，对散度的面积分，可以转化为梯度对边界的线积分。
${\int }_{A_i}divF(u)dA={\int }_{\partial A_i}F(u)\cdot n(u)ds$

$$\begin{gathered} 上述式子把对A_i面积的积分和对A_i边界（\partial A_i）的积分联系起来。 \\ 其中\mathbf{n}代表与三角形共面并垂直于边界向外的单位向量。 \end{gathered}$$

拉普拉斯积分推导

将上述定理应用于拉普拉斯，可以得到下述公式

${\int }_{A_i}\Delta f(\mathbf{u})dA={\int }_{A_i}div\nabla f(\mathbf{u})dA={\int }_{\partial A_i}\nabla f(\mathbf{u})\cdot \mathbf{n}(\mathbf{u})ds$

我们可以对每个三角内的区域进行积分，如上图的右图，对于单个三角形，积分如下，三角形的梯度是常量可以提出来，a和b是中点。

$$\begin{gathered} {\int }_{\partial A_i\cap T}\nabla f(\mathbf{u})\cdot \mathbf{n}(\mathbf{u})ds=\nabla f(\mathbf{u})\cdot {\int }_{\partial A_i\cap T}\mathbf{n}(\mathbf{u})ds＝\nabla f(\mathbf{u})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^{\perp } \\ =\frac{1}{2}\nabla f(\mathbf{u})\cdot ({\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}-{\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}{)}^{\perp } \end{gathered}$$

下面解释一下上式中(a-b)怎么来的。

我们先把线的法向转90度与中间的小三角形平齐。
对线的积分就是乘上线的长度，所以旋转以后的分积就是小三角形三条边形成的向量。
原来积分的结果应该是
(a-c)+(c-b)

由于(a-c)+(c-b)+(b-a)=0
所以(a-b) = (a-c)+(c-b)

转化成余切形式

三角形的梯度是一个常量，代入上式，得到

${\int }_{\partial A_i\cap T}\nabla f(\mathbf{u})\cdot \mathbf{n}(\mathbf{u})ds=(f_j-f_i)\frac{(x_i-x_k{)}^{\perp }\cdot (x_j-x_k{)}^{\perp }}{4A_T}+(f_k-f_i)\frac{(x_j-x_i{)}^{\perp }\cdot (x_j-x_k{)}^{\perp }}{4A_T}$

向量的点乘和叉乘可以转化成余弦和正弦。

${\gamma }_j,{\gamma }_k表示v_j,v_k点上对应的角$

面积
$A_T=\frac{1}{2}sin{\gamma }_j\Vert x_j-x_i\Vert \Vert x_j-x_k\Vert =\frac{1}{2}sin{\gamma }_k\Vert x_i-x_k\Vert \Vert x_j-x_k\Vert$

点乘
$cos{\gamma }_j=\frac{(x_j-x_i)\cdot (x_j-x_k)}{\Vert x_j-x_i\Vert \Vert x_j-x_k\Vert }$

$cos{\gamma }_k=\frac{(x_i-x_k)\cdot (x_j-x_k)}{\Vert x_i-x_k\Vert \Vert x_j-x_k\Vert }$

将上面公式代入式子可得到

${\int }_{\partial A_i\cap T}\nabla f(\mathbf{u})\cdot \mathbf{n}(\mathbf{u})ds=\frac{1}{2}(cot{\gamma }_k(f_j-f_i)+cot{\gamma }_j(f_k-f_i))$

上面公式是对一个三角形内区域的积分。
把所有三角形各分加起来，可以发现每条边都对应两个角（看最上面那张图左边），整体公式如下。

∫ A i Δ f ( u ) d ⁡ A = 1 2 [ ∑ v j ∈ N ( v i ) ( c o t α i , j + c o t β i , j ) ( f j − f i ) ] \int_{A_i}{\Delta f(\boldsymbol u) \operatorname d A} = \frac 1 2 \left [\displaystyle \sum_{v_j\in N(v_i)}(cot \alpha_{i,j}+cot \beta_{i,j})(f_j-f_i)\right ] ∫Ai​​Δf(u)dA=21​ ​vj​∈N(vi​)∑​(cotαi,j​+cotβi,j​)(fj​−fi​) ​

得到点的拉普拉斯公式如下

Δ f ( v i ) = 1 2 A i [ ∑ v j ∈ N ( v i ) ( c o t α i , j + c o t β i , j ) ( f j − f i ) ] \Delta f(v_i) = \frac {1} {2A_i} \left [\displaystyle \sum_{v_j\in N(v_i)}(cot \alpha_{i,j}+cot \beta_{i,j})(f_j-f_i)\right ] Δf(vi​)=2Ai​1​ ​vj​∈N(vi​)∑​(cotαi,j​+cotβi,j​)(fj​−fi​) ​

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