逻辑推理及其方法
逻辑推理
文章目录
- 逻辑推理
-
- 解推理问题的基本方法：
- 判断推理是否正确的方法：
-
-
-
-
- 判断一个推理形式是否正确，从定义上讲就是判断一个蕴含式是否是重言式
-
- 数学证明与形式推理的区别：
-
-
- 推论定律——重言蕴涵式
- 推理规则
- 构造证明法
-
-
- 一、直接证明法
- 二、附加前提证明法
- 三、归谬法（反证法）
-
推理：从 前提出发推出 结论 的思维过程
前提：或称假设，是指已知的命题公式A1,A2,…,Ak
结论：是从前提出发应用推理规则推出的命题公式
正确的推理或有效的推理即是指A1 ∧ A2 ∧ … ∧ Ak → B为重言式，此时称B是A1 ，A2 ， … ， Ak
的逻辑推论或有效结论
解推理问题的基本方法：
1.将命题符号化
2.写出前提、结论和推理的形式结果
3.对推理形式的正确性进行判断
★ 注意：这里考虑的是推理形式结构的有效性，而不是结论的正确性。
判断推理是否正确的方法：
判断一个推理形式是否正确，从定义上讲就是判断一个蕴含式是否是重言式
判断公式类型（判断推理是否正确）：
-
真值表法
-
等值演算法
-
主析取范式法
例1(真值表法)： 如果天气凉快，小王就不去游泳. 天气凉快. 所以小王没去游泳. 解：设p：天气凉快；q：小王去游泳. 前提：p→ ┐q，p. 结论：┐q. 推理的形式结构为（(p→ ┐q)∧p）→ ┐q 用真值表（下图）判断（(p→ ┐q)∧p）→ ┐q是否为重言式， 因为（(p→ ┐q)∧p）→ ┐q为重言式，所以推理正确p q ┐q p→ ┐q (p→ ┐q)∧p （(p→ ┐q)∧p）→ ┐q 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
例2（等值演算法）：
如果我上街，我一定去新华书店. 我没上街. 所以我没去新华书店.
解：设p：我上街；q：我去新华书店.
前提：p→q，┐p.
结论：┐q.
推理的形式结构为（（p→q）∧┐p）→ ┐q.
运用等值演算法
（（p→q）∧┐p）→ ┐q
<=> ┐（（┐p∨q）∧┐p）∨┐q
<=> p∨┐q
可见（（p→q）∧┐p）→ ┐q不是重言式，所以推理不正确
★ 注意：推理正确不能保证结论一定正确，因为前提可能是错误的。（当前提为假时，推理恒为真；当前提为真时，结论为假，推理才为真）
数学证明与形式推理的区别：
数学证明中，前提总是正确的，因而得出的结论也是正确的。（结论与前提有联系）
形式推理中，只有在推理正确且前提也正确时。才能保证得出的结论是正确的。（前提与结论没有联系）
推论定律——重言蕴涵式
A => (A∨B) 附加
(A∧B) => A 化简
(A→B)∧A => B 假言推理
(A→B)∧┐B => ┐A 拒取式
(A∨B)∧┐B => A 析取三段论
(A→B)∧(B→C) => (A→C) 假言三段论
(A ↔ B)∧(B ↔ C) => (A ↔ C) 等价三段论
(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) => (B∨D) 构造性二难
(A→B)∧( ┐A→B) => B 构造性二难（特殊形式）
(A→B)∧(C→D)∧( ┐B∨ ┐D) => ( ┐A∨ ┐C) 破坏性二难
推理规则
（1）前提引入规则（在证明的任何一步，都可以引入前提）
（2）结论引入规则（在证明的任何一步，前面已经证明的结论都可以作为后续证明的前提）
（3）置换规则（在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换，例如┐p∨q置换p→q）
证明：描述推理过程的命题公式序列，其中每个命题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题公式应用推理规则得到的结论。
构造证明法
一、直接证明法
直接运用前提推出结论，选择的两个前提应该是存在相同字母的，才能应用相对应的推论定律
例1:
前提：p∨q，p→ ┐r，s→t，┐s→r，┐t
结论：q
证明：① s→t 前提引入
② ┐t 前提引入
③ ┐s ①②拒取式
④ ┐s→r 前提引入
⑤ r ③④假言推理
⑥ P→ ┐r 前提引入
⑦ ┐p ⑤⑥拒取式
⑧ p∨q 前提引入
⑨ q ⑦⑧析取三段式
二、附加前提证明法
一般结论是a→b形式，运用前件A做为附加前提引入，推出结论b或者┐b
例2：
前提：p∨q, p→r, r→ ┐s
结论：s→q
证明
① s 附加前提引入
② p→r 前提引入
③ r→ ┐s 前提引入
④ p→ ┐s ②③假言三段论
⑤ ┐p ①④拒取式
⑥ p∨q 前提引入
⑦ q ⑤⑥析取三段论
三、归谬法（反证法）
一般结论是a形式，否定结论┐a，引入前提
例3：
构造下面推理的证明
前提：┐(p∧q)∨r, r→s, ┐s, p
结论：┐q
证明（用归缪法）
① q 结论否定引入
② r→s 前提引入
③ ┐s 前提引入
④ ┐r ②③拒取式
⑤ ┐(p∧q)∨r 前提引入
⑥ ┐(p∧q) ④⑤析取三段论
⑦ ┐p∨┐q ⑥置换
⑧ ┐p ①⑦析取三段论
⑨ p 前提引入
⑩ ┐p∧p ⑧⑨合取
p∧q)∨r 前提引入
⑥ ┐(p∧q) ④⑤析取三段论
⑦ ┐p∨┐q ⑥置换
⑧ ┐p ①⑦析取三段论
⑨ p 前提引入
⑩ ┐p∧p ⑧⑨合取