【Codeforces】 CF1768F Wonderful Jump

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题目解法

首先可以得到一个显然的 $dp$ 方程
$d{p}_i=min\{d{p}_j+(i-j{)}^2+min\{a_i,a_{i+1},...,a_j\}\}$
因为 $min$ 不好斜率优化，且难以用线段树维护
考虑值域 $\le n$，所以一个很长的区间有很大可能 $min$ 很小，所以考虑在值域上做文章

考虑如果 $i$ 的最有转移点为 $j$，那么 $min\{a_i,...,a_j\}\ast le{n}^2<n\ast len$
因为每个权值最多为 $n$，一个一个跳的权值最大为 $n\ast len$
所以 $min\{a_i,...,a_j\}<\frac{n}{len}$

考虑值域上根号分治

1. 区间最小值 $>\sqrt{n}$，那么该区间长度最长为 $\sqrt{n}$，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$
2. 区间最小值 $\le \sqrt{n}$
   考虑对于 $j<k<i$，若 $j$ 为 $i$ 的最优转移点，且 $a_k=min\{a_i,...,a_j\}$
   那么 $a_k\ast (i-k{)}^2+a_k\ast (k-j{)}^2<a_k\ast (i-j{)}^2$
   所以 $k$ 比 $j$ 更优，矛盾
   这说明如果 $j$ 为 $i$ 的最优转移点，那么 $a_i=min\{a_i,...,a_j\}$ 或 $a_j=min\{a_i,...,a_j\}$
   对于 $i$ 为 $min$ 的情况，之间在后面暴力找第一个 $a_j<=a_i$ 即可，考虑对于 $1,...,\sqrt{n}$，每个数只会被扫一次 $1-n$，所以时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$
   对于 $j$ 为 $min$ 的情况，用栈记录之前所有 $\le a_i$ 的数即可，栈中最多 $\sqrt{n}$ 个元素，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$

总的时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$

#include 
#define int long long
using namespace std;
const int N(400100);
int n,a[N],dp[N];
int stk[N],top;
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
signed main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[1]=0,stk[++top]=1;
	int B=sqrt(n)+2;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1,mn=a[i];j<=B+5;j++){
			if(i-j<1) break;
			mn=min(mn,a[i-j]);
			dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]+j*j*mn);
		}
		for(int j=1;j<=top;j++) dp[i]=min(dp[i],dp[stk[j]]+a[stk[j]]*(i-stk[j])*(i-stk[j]));
		if(a[i]<=B){
			while(top&&a[i]<=a[stk[top]]) top--;
			stk[++top]=i;
			for(int j=i-1;j>=1;j--){
				if(a[j]<=a[i]) break;
				dp[i]=min(dp[i],dp[j]+a[i]*(i-j)*(i-j));
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",dp[i]);
	return 0;
}