数据结构—树和二叉树

树是n(n>=0)个节点的有限集合，n=0时称为空树，在任一非空树中

• 有且仅有一个称为根节点。
• 其余的节点可分为m(m>=0)个互不相交的子集T1、T2...、Tm、其中每个子集本身又是一棵树，并称其为根结点的子树。
• 结点的度：一个节点的子树的个数记为结点的度。
• 树的度：树中各结点的度的最大值
• 叶子结点：也称为终端节点，指度为零的结点。
• 内部结点：度不为零的结点称为分支结点或非终端结点。除根结点外，分支结点也称为内部结点。
• 结点的层次：根为第一层，根的孩子为第二层，依次类推。
• 树的高度：一棵树的最大层次树记为树的高度（或深度）。
• 有序（无序）树：若将树中的结点的各子树看成是从左到右具有次序的，即不能交换，则称该树为有序树，否则称为无序树。
• 森林：是m(m>=0)课互不相交的树的集合

树的存储结构有两种形式：标准存储结构和带逆存储结构

二叉树

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，它或者是空树(n=0)，或者是由一个根结点及两颗互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树所组成。

二叉树与树的区别：

• 二叉树的结点的最大度为2，而树不限制结点的度。
• 二叉树的结点的子树要区分左子树和右子树

二叉树的性质

1、二叉树第i层上的结点数目最多为2的i-1次方(i>=1)。
2、深度为k的二叉树至多有2的k次方-1个结点(k>=1)。
3、在任意一颗二叉树中，若终端结点树为n0，度为2的结点树为n2，则n0=n2+1。

二叉树的存储结构

1、顺序存储结构
对完全二叉树既简单又节省空间，而对于一般二叉树则不适用。
2、链式存储结构
由于二叉树中结点包含有数据有数据元素、左子树根、右子树根及双亲等信息，因此可以用三叉链表或二叉链表来存储二叉树。链表的头指针指向二叉树的根结点。

二叉排序树

二叉排序树又称二叉查找树，定义：或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：
1、若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2、若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
3、左、右子树也分别为二叉树排序树；

平衡二叉树

平衡二叉树又被称为AVL树，具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两颗子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。

线索树

n个结点的二叉链表中含有n+1 (2n-(n-1)=n+1)个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为线索）。

最优二叉树

给定n个权值作为n的叶子结点，构成一颗二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。