Java 递归计算斐波那契数列指定位置上的数字

一、原理

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……

在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。

二、代码实现

要计算第 n 个斐波那契数列的数字，我们可以使用以下递归函数：

public class MyClass {
    public static void main(String[] args){
        int n = 10;
        System.out.println("斐波那契数列第 " + n + " 个数为 " + Fibonacci(n));
    }

    //递归  n代表第几个数
    public static int Fibonacci(int n) {
        //前两个数为 1
        //第三个数及后面的数为前面两数之和
        //如果输入的 n 不合法将返回 -1
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        } else if (n > 2) {
            return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
        } else {
            return -1;
        }
    }
    
}

时间复杂度：

• 最好情况下，当 n 等于 1 或 2 时，直接返回 1，时间复杂度为 O(1)。
• 最坏情况下，当 n 大于 2 时，需要递归调用 Fibonacci() 函数计算前两个数的和，时间复杂度为 O(2^n)。因为每次递归调用会产生两个子问题，每个子问题又会产生两个更小的子问题，以此类推，直到递归到 n 等于 1 或 2。
• 平均情况下，时间复杂度也是 O(2^n)，因为每个数都需要通过递归调用计算得到。

空间复杂度：

• 由于递归调用会在堆栈中保存每次调用的局部变量和返回地址，所以空间复杂度取决于递归的深度。在最坏情况下，递归深度为 n，所以空间复杂度为 O(n)。

综上所述，该递归实现的斐波那契数列函数的时间复杂度为指数级的 O(2^n)，空间复杂度为线性的 O(n)。由于指数级的时间复杂度，在计算较大的斐波那契数时，递归实现会变得非常慢。

三、运行结果

斐波那契数列第 10 个数为 55