概率统计_随机变量的特征函数与母函数

符号

实数：$t$
复数：$z$
随机变量：$X$
分布函数：$F(x)$
密度函数：$f(x)$
特征函数：$g(t)$
母函数：$P(s)$

特征函数

定义

$g(t)=E(e^{itX})={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itX}dF(x),-\infty <t<\infty$
例如对于离散型随机变量X：$g(t)={\sum }_k{e}^{it{X}_k}{p}_k$
对于连续型随机变量X：$g(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itX}f(x)dx$

性质

1. $g(0)=1,|g|\le 1$,$g(-t)$与$g(t)$共轭。
2. $g(t)$在实数域上一致连续。
3. 只要$E(X^n)$存在，那么$g(t)n$阶可微，且$g^{(n)}(0)=i^{k}E(X^n)$.
4. $g(t)$是非负定的，即${\sum }_{k,l=1}^{n}g(t_k-t_l)z_k\overline{z_l}\ge 0$（$n^2$项求和），其中t是任意实数，z是任意复数。
5. 相互独立的随机变量$X_1,\dots ,X_n$以及随机变量$X=X_1+\cdots +X_n$满足$g(t)=g_1(t)\dots g_n(t)$.
6. 随机变量的特征函数可以唯一地确定分布函数。

其中第3点提供了一个较便捷的求n阶矩的方法，第5,6点可以用来求解较复杂情况下的分布函数。

母函数

定义

设$X$是取非负整数值的随机变量，分布律为$P(X=k)=p_k,k=0,1,\dots$
此时称$P(s)=E(s^X)={\sum }_k{s}^k{p}_k$为$X$的母函数。

性质

1. 只要$E(X^n)$存在，即可通过母函数计算，如$E(X)=P^{\prime }(1)$，$E(X^2)=P^{\prime \prime }(1)+P^{\prime }(1)$.更高阶的结果也可以通过构造多项式不同阶导数项的系数来确定。
2. 相互独立的随机变量$X_1,\dots ,X_n$以及随机变量$X=X_1+\cdots +X_n$满足$P(t)=P_1(t)\dots P_n(t)$.
3. 随机变量的母函数可以唯一地确定分布率。
4. （随机变量均相互独立，取非负整数值）同分布的的随机变量$X_1,\dots ,X_n$及与之独立的$N$满足
   $Y={\sum }_{k=1}^N{X}_k$（即求和的项数不一定）的母函数为$H(s)=G(P(s))$，其中G，P为N，X的母函数。

前三点和特征函数第3,5,6点对应，第4点提供了一种在随机变量个数不确定情况下的计算方法。

参考

随机过程第四版 刘次华 华中科大出版社