最短路径

两种最短路径算法：Dijkstra和Bellman

学习资料：《啊哈！算法》

Dijkstra

问题：在一张图中，从一点出发到大其他个点的最短路径。

思路：假设a到b之前的直达路径是10，如果求a到b的最短路径，就需要抄近路，比如加个c，a->c->b，看这条路径是不是比10小。

然后是这个c怎么选择。如下图，求取顶点1到其它顶点的最短路径。

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除去1，还有五个顶点，先列出1到其它顶点的距离，在不经过其它顶点的情况下的距离，无法直达的用正无穷表示，这里用00代替，可以得到一个距离数组distant={0, 1, 12, 00, 00, 00}，分别表示顶点1到（i+1）顶点的距离，其中i为数组中元素的下标；

对distan排序，除去顶点1之外，找出1到其它顶点的最小距离，这里可以看到1到2最短，距离为1；

用（2）中获得的最小值当做c，做为1到其它顶点的中间顶点，看是否缩短距离，如果缩短了距离就将跟新后的距离更新到distant数组中。比如，1到4本来是没有知道路径的，如果以2为中间点，可以到达，距离为（1+3）；1到3有可以直达的路径，如果以2为中间点，距离变为（1+9），要小于本来1到3直达的距离；

按照上述思路查询所有顶点，查询一遍之后，distant数据更新为{0, 1, 9, 4, 00, 00}；

对更新后的数组distant继续进行（2）（3）操作，循环进行。循环的次数是（n-1），其中n为顶点总个数；

注意：Dijkstra算法应用的前提是所有边的权重都为正，只有当所有边都为正的时候，上述遍历结果才能确保当前路径是最短的，如果有负边，比如上图中4到3权重为-4，1->2->4->3要小于1->2->3，但如果在算法流程的（2）中，已经认为1->2->3是1到3的最短经，就不会在更新1到3的distant，导致算法最后求得的最短路径并不是最短。

时间复杂度：最坏情况下的时间复杂度为N*N，N为顶点个数。

时间复杂度优化算法：有几个优化方向，算法需要找到最小值，用最小堆实现可以将时间复杂度从O(N)优化到O(logN)。将顶点个数记做n，边数记做m，m通常要小于n*n，也就是稀疏图，稀疏图出采用邻接表表示效率更高。最终的时间复杂度可优化为O((M+N)logN)。

Bellman

该算法可以应用于负权边的问题。

Bellman算法基于这样的一个想法，如果一个图中的节点个数为n，m条边，那么从一个顶点到另一个顶点的最短路径包含边的范围是[1, n-1]。然后可以检查某一条边再加上跟他相连的另一条边之后能不能让本来的路径变短，变短了就更新。

核心代码如下

for (int p = 1; p < num_point - 1; ++p) {

for (int r = 1; r < num_route; ++r) {

    if (distan[v_be[r]] > distan[u_be[r]] + w_be[r]) {

       distan[v_be[r]] = distan[u_be[r]] + w_be[r];

    }

    }

}

该算法每轮迭代都试探所有可能的边，就不存在Dijkstra算法中的问题。

时间复杂度：该算法的时间O(mn)。

时间复杂度优化方法：外层循环是在遍历几条路径，某些顶点会不再更新的，这样的话就没必要继续计算，可以之间跳过。这时可以有队列来记录这些不再更新的点。具体实现参照代码。要注意的是，这种方法的最差性能仍然是O(mn)。

源码：https://github.com/Victcode/AlgorithmsLearning/tree/main/AhaAlgorithm