动态规划解“不同路径问题”（所有路径、有障碍物时的所有路径）

题目1：不同路径（求到达右下角的所有路径）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

 

 解题思路：

1.dp[i][j]代表从0，0走到i，j的位置有多少条路径

2.矩阵的左边界和上边界只能是一种走法，要么只能向下走，要么只能向右走

dp[i][0]=1;dp[0][i]=1;

3.到达矩阵其余元素的所有路径可以从上一个元素得来，也可以从左一个元素得来，这里我们求的是到达i,j位置的所有路径之和，所以我们只需要将上边和左边的路径相加即可

dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];

源代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector> dp(m,vector(n));//二维数组dp
        //矩阵左边界只有一种走法，只能向下走
        for(int i=0;i

题目2：不同路径（有障碍物）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

 输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径

解题思路：

1.左边界和上边界如果遇到障碍，则障碍后的地方到达路径都为0

2.矩阵中其余元素判断时，如果是障碍物，dp为0

3.动态规划方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];

源代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector>& obstacleGrid) {
        int m=obstacleGrid.size();//计算矩阵的行
        int n=obstacleGrid[0].size();//计算矩阵的列
        vector> dp(m,vector(n,0));//定义动态规划的二维数组，初始化为0
        //如果矩阵中第一行第一列不是障碍物，则dp[0][0]=1
        if(obstacleGrid[0][0]!=1) dp[0][0]=1;
        //左边界(每个元素只能由上边元素得来)
        for(int i=1;i