论文笔记——Influence Maximization in Undirected Networks

Contribution

好久没发paper笔记了，这篇比较偏理论，可能边看边记比较高效一些，仅作为个人笔记，如有解读不到的还请包涵。这篇paper的贡献有两个，首先是证明了在无向图中使用greedy可以突破$1-1/e$的barrier（也就是greedy在无向图上会更强），达到$1-1/e+c$的近似，其中$c$为常数；其次，该论文证明了无向图上的influence maximization是$APX-hard$。

Motivation

作者先给了一个比较紧的例子：

这里蓝色为OPT（optimal，最优解），红色为$GRD$（greedy算法选择的种子节点）。注意，有向图中greedy选择$v_1,v_2$是因为$val(v_1)=val(v_2)=val(v_3)=1$。然而在无向图中，情况会更不一样：

这里$val$为节点的影响力，同样，这里$OPT=\{v_2,v_3\}$（因为$v_2,v_3$的权重大），这里依然有$val(\{v_2,v_3\})=2$。然而贪心算法会可能会选择$GRD=\{v_1,v_2\}$，且有$val(v_2)=val(v_3)=1+0+1\ast 1/2\ast 1/2=5/4$，那么根据Greedy的习惯，$GRD=\{v_2,v_3\}$，也就是说，在这个例子中，greedy会选出最优解。
同样的结构，greedy在无向图和有向图上的表现却大相径庭，背后原因令人暖心：在无向图中，greedy选出的节点的影响力会和OPT的影响力重叠更少。然而这只是一个例子，不具备代表性，为了generalize这一现象，作者将使用$\text{XYZ}$ lemma来构建反例（如下图）来说明在无向图中，$k=1$时，greedy算法带来的近似比可以任意接近$3/4$；$k$变大时，近似比则可以任意接近$1-1/e$。

作者的整体思路分三步走：

• Counter Example ：首先构建worst case “balanced OPT”。在这个case中greedy算法的影响力函数$val(.)$几乎是线性的，且每个OPT中的节点的影响力几乎是一样的。在这种情况下，greedy的近似比是$1-1/e$；除此之外，greedy的近似比都大于$1-1/e$。
• Linearity：在无向图中考虑$val(.)$函数的线性情况。这里指的是，无向图中的OPT中的元素必须尽可能的不处在同一个连通分量中：$val(OPT)-val(OPT\setminus o_i)>val(o_i)$，即节点$o_i$的增益大于其本身的影响力。这对greedy有很大的影响。
• Technical part：设$S$为$OPT$中前$k/4$个种子，考虑greedy选择剩余的种子的情况：作者证明了要么greedy会选择具有较大增益的点，达到$1-1/e+c$的近似；要么就是在balanced form情况下，OPT会导致矛盾。这里矛盾的点在于：在balance form时，greedy在选完前$4/k$个种子后，接着应该继续选具有最大增益的点(Lemma 4.2)，否则就不会具有比$1-1/e$更好的近似比；换句话说，假设greedy不能提供更好的近似比，那么应该选出增益低的节点，但是由于$M^{\prime }$（后续会讲到）中的节点是$5ϵ$-uniform的，和$S$在一个连通分量中的概率会很低，因此要选一个$O_i\in M^{\prime }$具有低增益是不可能的，因为增益迪就说明$O_i$和S在同一个连通分量里面。证明的过程用到了一些technical的概率分析，描述了$\text{XYZ}$ Lemma。

Preliminaries

Notations

notations	Meaning
$<G(V,E),U,p,w,k>$	An undirected graph
U	a valid seed set
$p$	he probability in edges
$w$	the weight on node
$k$	an integer
$H(V^{\prime },E^{\prime })$	an live-edge graph of $G$
$val(S|T)$	$val(S\cup T)-val(T)$
$S\to T$	some vertices in $S$ in the same component of $T$

此外，这里作者提供了一个加权图和无权图互相转化的方法。故文章中提到的图都是无权图。

Main results

这也是这篇paper的主要贡献，接下来是定理3.1的证明，也就是文章中具有technical的部分。首先构建lemma 3.1和lemma 3.2，这两个lemma想做的事情是说，当OPT不是特定的"balance"形式的时候，定理3.1是成立的。这里的“balance”其实就是worst case。

Reduction to Balanced Optimal Instances

首先定义了归一化影响力，具体定义如下。这个式子衡量了$X$中节点的平均影响力和OPT中总体节点影响力的比值。$\rho (x)>1$说明$X$中节点的平均影响力比OPT的节点平均影响力。

给定$ϵ>0$，我们说一组节点$X$是$ϵ$-uniform 的，若其每个不包含x节点的集合$X$的元素的normalized influence浮动都很小，即$(1-ϵ)\le \rho (x\mid X\setminus x)\le (1+ϵ)$，那么该组节点的发挥就很稳定，称之为$ϵ$-uniform。
$X$是$ϵ$-independent的：若每个节点和X中其他节点出现在同一连通分量的概率$Pr[x\to X\{x\}]\le ϵ$。
$X$是$ϵ$-balanced:同时满足$ϵ$-uniform和$ϵ$-independent，也就是说这组节点即均匀分布，又发挥稳定（$val(.)$几乎是线性的）。
这个章节的目的是想说明对于这样的一个$ϵ>0$,greedy要么可以实现一个$1-1/e+f(ϵ)$的近似，要么OPT就是$ϵ$-balanced。

Lemma 3.1说明了greedy算法严格保证了一个大于$1-1/e$的近似比。证明如下：

接下来的lemma说明，OPT一定满足下面两个条件之一：1、要么包含了一组$X$，满足归一化后的X的影响力严格大于1且$val(X)=\Omega (val(OPT))$，即$X$的lower bound是$val(OPT)$；2、要么OPT可以根据条件划分为L，H，M。L的划分方法如下：

其实这里$L$存放了一组点，满足$val(L)\le ϵ\cdot val(OPT)$，也就是将$o_i$加入$Z$（不包含$o_i$）带来的收益小于$\frac{(1-ϵ)val(OPT)}{k}$的那部分点，这些点至少会有$ϵ\cdot k$个。对于剩下的$k-ϵ\cdot k$个点，我们将它划分到$X$中。

这样一来，$\rho (X)>1$且$val(X)=\Omega (val(OPT))$。

若$\mid L\mid \le ϵ\cdot k$，则不存在$X$，那么继续划分。对于M和H，划分方法如下：

也就是说，在一个集合$Z=O_1,...,O_k$中，L是Z中一系列增益小于$\frac{(1-ϵ)val(OPT)}{k}$的节点，那么对于Z中剩下的点，选出前$j$个连续增益最大的点$\{O_{\delta (1)},...,O_{\delta (j)}\}$，若这些点的影响力大于${ϵ}^{2}val(OPT)$，则将其划分为X；否则为$H$，剩下的点为$M$。这波操作下来，$L,H,M$中的点都不会有normalized influence大于1的情况，也就是说，greedy在这种情况下不会出现比$1-1/e$好的近似比。根据划分的方法，满足lemma3.2中的条件：M是$ϵ$-uniform的。
证明如下：

接下来肯定是证明$ϵ$-independent了。但这里只证明$M$中的部分。对于M，有：

也就是说，$M^{\prime }$存在于$M$中，且大小至少为$\mid M\mid -ϵk$，且$M^{\prime }$中每个点$O_i$在$M^{\prime }$的连通分量中的概率最多为$5ϵ$。这个证明暂且skip，没看懂。

Proving Theorem 3.1 for Balanced Optimal Instances

现在的情况是OPT被分成上面的样子了，这里$M^{\prime }$满足$5ϵ$-independent和$ϵ$-uniform。按照之前的证明思路，若是有一个集合满足$ϵ$-balanced，那么该集合上的$val(.)就是几乎就是线性的。接下来的证明策略如下。首先证明，给定$S = {g_1,g_2,…,g_{k/4}}$，如果贪婪算法没有达到比$1-1/e$更好的近似， 那么每个$O_i\in M^{\prime }$的边际影响一定不能太大（lemma 3.4)，否则就会有greedy超过$1-1/e$的情况发生。

Lemma3.4描述了greedy选完前$k/4$之后依然还能选出增益大于$4/5\frac{val(OPT)}{k}$的情况。接下来的Lemma 3.5会考虑矛盾的情况：当$M^{\prime }$中还存在更低的uniform集合。

$Lemma3.4$和$Lemma3.5$似乎是矛盾的，因为粗略地说，当$O_i$和$S$在同一连通分量中的概率很大时，给定S，加入$O_i$的边际影响会很小。为了正式的说明这一点，我们必须为连通分量的大小和连接性事件之间的相关性建立界限；这个界限在XYZ引理（引理3.6）中被定义。

这里作者给出了两个定义：

对于一个点$j\in E_i$，definition 1说$j$对于$O_i\in M^{\prime \prime }$是"exclusive"：当$j$在$M^{\prime \prime }$、$S$的连通分量中，不在$H$的连通分量中时，$j$被感染的概率依然小；
definition 2说$j$对于$O_i\in M^{\prime \prime }$是"good"：definition 2想说的是，$M^{\prime \prime }$和S都影响j的概率并不比$M^{\prime \prime }$影响$j$的概率小多少。

最后，将XYZ引理应用于$M^{\prime }$和S，我们将证明，$M^{\prime \prime }$中大部分的影响力都是由于$O_i$影响了一个"exclusive and good" $j$。

到目前为止，我们集齐了所有的武器，接下来可以证明theorem 3.1了。

这里证明的思路大概如下：先假设theorem 3.1不成立，即$val(GRD)\le (1-1/e+c)val(OPT)$，那么由lemma 3.1，3.2和3.3可将OPT分解为$L,M^{\prime },M^{\prime \prime },H$且满足lemma 3.5（$|M^{\prime \prime }|\ge k/3andPr[O_i\to S]<14\sqrt{ϵ}$ for all $O_i\in M^{\prime \prime }$）。通过随后的几个Lemma，作者证明了再这种情况下依然有$val(S)\ge c_2\cdot \frac{1}{\delta }val(OPT)$（这里S是GRD的前k个种子，$\delta =14\sqrt{ϵ}$），因此原结论成立。