【数理知识】刚体 rigid body 及刚体的运动

文章目录

  • 1 刚体
  • 2 刚体一般运动
    • 1 平移运动
    • 2 旋转运动
  • Ref

1 刚体

刚体是指在运动中和受力作用后,形状和大小不变,而且内部各点的相对位置不变的物体。绝对刚体实际上是不存在的,只是一种理想模型,因为任何物体在受力作用后,都或多或少地变形,如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小,在研究物体运动时变形就可以忽略不计。

根据相对论,刚体这种物体不可能实际存在,但物体通常可以假定为完美刚体,前提是必须满足运动速度远小于光速的条件。

把许多固体视为刚体,所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。但要研究应力和应变,则须考虑变形。由于变形一般总是微小的,所以可先将物体当作刚体,用理论力学的方法求得加给它的各未知力,然后再用变形体力学,包括材料力学、弹性力学、塑性力学等的理论和方法进行研究。

总的来说,刚体就是质点间距离保持不变的质点系。而刚体的空间位置由任意与刚体固连的不共线三点决定。

2 刚体一般运动

刚体运动(rigid motion)在三维空间中, 把一个几何物体作旋转, 平移的运动,称之为刚体变换。

刚体的运动通常由两个主要部分描述:平移运动和旋转运动。

刚体在空间的位置,必须根据刚体中任一点的空间位置和刚体绕该点转动时的位置(见刚体一般运动)来确定,所以刚体在空间有六个自由度。

1 平移运动

平移运动:这部分非常直观,即刚体沿某个方向移动一段距离。这通常由一个向量表示,向量的方向表示移动的方向,向量的长度表示移动的距离。

2 旋转运动

旋转运动:这部分比较复杂,因为旋转可以围绕任意轴进行,而且不同的旋转顺序可能产生不同的结果(这被称为万向节锁问题)。旋转通常由一个旋转矩阵或四元数表示。旋转矩阵是一个3x3的矩阵,可以将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。四元数是一个包含四个元素的数,可以更有效地表示和计算旋转。

刚体的运动也可以用其他方式表示,例如欧拉角或者轴角表示法,但它们通常在数学处理上更复杂。

平移和旋转可以用一个4x4的齐次变换矩阵同时表示。这个矩阵的左上角是一个3x3的旋转矩阵,右上角是一个3x1的平移向量,左下角是一个1x3的零向量,右下角是1。通过乘以这个矩阵,可以将一个刚体从一个位置和方向变换到另一个位置和方向。

在实际应用中,通常需要进行一系列的平移和旋转来描述复杂的运动,例如机器人臂的运动或者三维图形的变换。

Ref

  1. 刚体 - 百度百科
  2. 刚体 - WikiPedia
  3. 刚体运动 - 百度百科
  4. 刚体运动学

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