hihoCoder#1032 最长回文子串

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这道题巧妙地利用了先前回文串的信息来减少后面的回文串计算量。

 

比如下面的字符串（圆圈代表字符）假设已经知道了某个字符的回文串情况（曲线连接的两个圆圈代表两个相同字符）

 

思考：这能给后面的回文串计算带来什么帮助呢？

一个巴掌拍不响，看看已知两个回文串有什么效果：

 

是不是有点意思了？为了更加直观，我们给曲线和点染色：

 

还没明白在说什么？没关系，让我们把字母标上：

这下非常明显了吧，已知中心点在i和中心点在j的两个回文串，现在要求中心点在k的回文串，我们很容易就知道这个回文串的长度至少是5（3个蓝色点+2个橙色点）。

注意，这里求得的只是一个下界，目的是减少后续判定回文串的工作量。

令f[i]表示以i为中心点的回文串的长度，那么则有f[k] >= 5

 

原则上讲，k之前的所有已知回文串都可以用于计算这个下界，但毕竟我们就是计算一个下界，没必要非常精确。所以只是基于一个直观的想法去决定选择哪个点作为计算依据。即选择令 i + f[i] / 2 最大的那个i就行了。为什么是这个数呢？

假设有两个候选，i和i'，他们对应的回文串情况如下图所示。

那我们应该用i还是用i'呢？我想，正常人应该都会选择用i而不是i'吧。。

而上面那个式子(i + f[i] / 2)指的恰好就是回文串的右边界，也就是说，用这个i计算“应该”结果不赖。

 

好了，i确定了，j怎么办呢？因为我们知道一个巴掌拍不响啊。其实选择j非常简单，只需要把k沿着i对称一下就行了：

我们有f[k]' = f[j]。

记住，f[k]'只是f[k]的一个下界，所以要想求得f[k]真正是多少，还是需要继续判断回文串，但是下界范围内的就不需要了，这就减少了判断回文串的工作量。

 

知道原理以后，代码就很好写了。

 

一开始我总是TLE，后来发现原来是用了C++的string的拼接，当string很长的时候，字符串的拼接是非常耗时的，所以要用字符数组，不能用字符串！