微积分物理题（原创）

在一个粗糙的平面上，有一个质量为$1\text{kg}$的小木块，小木块的初速度为$0$，小木块与平面的动摩擦因数$\mu =0.2$。有一个拉力$F$拉动小木块从左往右移动，拉力$F$与时间$t$的关系为$F=0.3t^2-2.4t+5.6$。（$g$取$10\text{N/kg}$）
（1）求小木块在前$10\text{s}$的运动距离。
（2）求拉力在前$10\text{s}$对小木块做的功。

解：
\qquad （1）小木块的动摩擦力为$f=\mu F_N=\mu mg=2N$

\qquad 小木块受到向右的作用力为$F_1=F-f=0.3t^2-2.4t+3.6$

\qquad 由牛顿第二定律，小木块的加速度$a=\frac{F_1}{m}=0.3t^2-2.4t+3.6=0.3(t-2)(t-6)$

\qquad 则小木块的速度$v=\int dv=\int adt=0.1t^3-1.2t^2+3.6t+C$

\qquad 因为小木块的初速度为$0$，所以$t=0$时$v=0$，得$C=0$

\qquad 当速度为$0$且拉力小于小木块的动摩擦力时，小木块受到静摩擦力，加速度为$0$

\qquad 设小木块由受动摩擦力转为静摩擦力的时间为$t_1$，则$t_1\in (2,6)$且${\int }_0^{t_1}adt=0$

\qquad 即$t_1\in (2,6)$且$0.1t_1^3-1.2t_1^2+3.6t_1=0$，解得$t_1$无解

\qquad 所以小木块一直受到动摩擦力，小木块受到摩擦力恒为$2N$

\qquad 小木块的运动距离为 s = ∫ 0 10 v d t = ∫ 0 10 ( 0.1 t 3 − 1.2 t 2 + 3.6 t ) d t = ( 0.025 t 4 − 0.4 t 3 + 1.8 t 2 ) ∣ 0 10 = 30 m s=\int_0^{10}vdt=\int_0^{10}(0.1t^3-1.2t^2+3.6t)dt=(0.025t^4-0.4t^3+1.8t^2)\bigg\vert_0^{10}=30m s=∫010​vdt=∫010​(0.1t3−1.2t2+3.6t)dt=(0.025t4−0.4t3+1.8t2) ​010​=30m

\qquad （2）因为$W=Fs=Fvt$

\qquad 所以拉力对小木块做的功$W={\int }_0^{10}Fvdt={\int }_0^{10}(0.3t^2-2.4t+5.6)(0.1t^3-1.2t^2+3.6t)dt$

$={\int }_0^{10}(0.03t^5-0.6t^4+4.52t^3-15.36t^2+20.16t)dt$

   = ( 0.005 t 6 − 0.12 t 5 + 1.13 t 4 − 5.12 t 3 + 10.08 t 2 ) ∣ 0 10 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ \ =(0.005t^6-0.12t^5+1.13t^4-5.12t^3+10.08t^2)\bigg\vert_0^{10}   =(0.005t6−0.12t5+1.13t4−5.12t3+10.08t2) ​010​

$=188J$