【二叉树进阶】搜索二叉树的性能分析及其应用

前言

上一篇文章我们学习了搜索二叉树的实现，这篇文章我们来对搜索二叉树进行一个性能分析，并来讲解一下它的应用。

1. 二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，所以查找效率就代表了二叉搜索树中各个操作的性能

那大家思考一下，搜索二叉树的查找的时间复杂度是多少？
那这个其实在不同情况下是不一样的：
如果二叉搜索树处于比较平衡的情况（接近完全二叉树），比如这样的

这种情况最坏的查找无非也就查找高度次（那如果结点数量为N，它的高度通常保持在logN的水平），所以这样它的时间复杂度就是O（logN)。
但是，避免不了出现这样的情况

二叉搜索树退化为单支树(或者接近单支)，那这时查找的时间复杂度就应该是O(N)。

所以，二叉搜索树的查找的时间复杂度

最优情况下，二叉搜索树趋于平衡，其平均比较次数为：$lo{g}_{2}N$，时间复杂度为O(logN)
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：$\frac{N}{2}$，时间按复杂度为O(N)

那么问题来了：

如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。
那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优？那么我们后续章节学习的AVL树和红黑树就可以上
场了。
这个到时候讲到再说…

2. 二叉搜索树的应用

2.1 K模型

搜索二叉树的第一个应用是K模型，什么是K模型呢，介绍一下：

其实呢就是一个在不在的问题。
K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只存储Key，关键码即为需要搜索的值。

比如：

给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误

那我们上一篇实现的搜索二叉树其实就是按照K模型搞的，所以这里就不举具体的例子了。

2.2 KV模型

KV模型即每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即结构中存储的键值对。

该种方式在现实生活中非常常见：

比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文就构成一种键值对；
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是就构成一种键值对。

那接下来我们就来改造一下我们上一篇文章实现的搜索二叉树，改造成KV模型来简单解决一下上面提到的两个问题。

英汉互译

怎么改造呢，也很简单：

第一步：

我们可以把上一篇文章写的那个放到一个Key的命名空间，然后拷贝一份放到KV的命名空间里进行修改。

然后，大部分地方都不用变，把这几个地方改一下就行了

其实就是增加一个模板参数，结点里面增加一个成员_val；
然后涉及到的模板的地方和相关的成员函数改一下就行了
首先插入的函数肯定得改一下
ps：代码比较长，就不全部放出来了，最后会给大家源码，大家不清楚的地方可以看

然后查找我们要简单改一下

因为现在是KV模型，完成英汉互译，不像之前那样查到了返回true，查不到返回false
应该是查到返回对应的结点，通过结点我们可以拿到对应的val，查不到返回个nullptr。

然后删除其实就不用改了，因为删除还是用key去找对应的结点删除就行了。
至于剩下的，大家有兴趣可以自己修改一下，我们这里就直接把剩下的其它一些接口删掉了。

然后我们来写个程序测试一下：

运行看看

然后关于这里这个循环如何结束，我们上面提到可以输入Ctrl+Z，然后回车，这就是正常让它结束。
当然还可以输入Ctrl+c，直接就结束了，不过Ctrl+c是直接让进程终止。

统计次数

接下来我们再来搞一个，还是用KV模型：

现在有一些水果，我们想统计每种水果出现的次数。

可以怎么搞呢？

，我们还是用KV来存储键值对，key是水果的名字，val是出现的次数。

然后：
遍历存储水果的string数组，判断每一个水果在不在countTree里面，不在，就添加进去，把val置成1，在的话，就只让val++就行了。
这样遍历一遍，就统计出次数了。

运行一下

就统计出来了。

3. 源码展示

3.1 KV结构改造

namespace kv
{
	template <class K, class V>
	struct BSTreeNode
	{
		BSTreeNode(const K& key, const V& val)
			:_left(nullptr)
			, _right(nullptr)
			, _key(key)
			, _val(val)
		{}

		BSTreeNode<K,V>* _left;
		BSTreeNode<K,V>* _right;
		K _key;
		V _val;
	};

	template <class K, class V>
	class BSTree
	{
		typedef BSTreeNode<K,V> Node;
	public:
		bool Insert(const K& key, const V& val)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key, val);
				return true;
			}
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return false;
				}
			}
			//走到这里cur为空，就是key应该插入的位置
			cur = new Node(key, val);
			//链接
			if (key < parent->_key)
				parent->_left = cur;
			if (key > parent->_key)
				parent->_right = cur;
			return true;
		}
		Node* Find(const K& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (key < cur->_key)
				{
					cur = cur->_left;
				}
				else if (key > cur->_key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}
		bool Erase(const K& key)
		{
			Node* parent = nullptr;
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (key < cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (key > cur->_key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					//key == cur->_key就是找到了，进行删除
					//1.左为空
					if (cur->_left == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
						cur = nullptr;
					}
					//2.右为空
					else if (cur->_right == nullptr)
					{
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							if (cur == parent->_left)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}
						delete cur;
						cur = nullptr;
					}
					else//左右都不为空
					{
						//这里选择右树的最小结点（最左边）替换
						Node* pminRight = cur;
						Node* minRight = cur->_left;
						while (minRight->_left)
						{
							pminRight = minRight;
							minRight = minRight->_left;
						}
						cur->_key = minRight->_key;
						//删除替换结点
						if (pminRight->_left = minRight)
						{
							pminRight->_left = minRight->_right;
						}
						else
						{
							pminRight->_right = minRight->_right;
						}
						delete minRight;
						minRight = nullptr;
					}
					return true;
				}
			}
			//找不到直接返回false
			return false;
		}
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return;
			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << root->_val << " ";
			_InOrder(root->_right);
		}
	private:
		Node* _root = nullptr;
	};
}

3.2 测试

void TestBSTree5()
{
	kv::BSTree<string, string> dict;
	dict.Insert("sort", "排序");
	dict.Insert("left", "左边");
	dict.Insert("right", "右边");
	dict.Insert("string", "字符串");
	dict.Insert("insert", "插入");
	dict.Insert("erase", "删除");

	string str;
	while (cin >> str)
	{
		auto ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << ":" << ret->_val << endl;
		}
		else
		{
			cout << "无此单词" << endl;
		}
	}
}

void TestBSTree6()
{
	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };

	kv::BSTree<string, int> countTree;
	for (auto fruit : arr)
	{
		//kv::BSTreeNode* ret = conutTree.Find(e);
		auto ret = countTree.Find(fruit);
		if (ret == nullptr)
		{
			countTree.Insert(fruit, 1);
		}
		else
		{
			++ret->_val;
		}
	}
	countTree.InOrder();
}