Python 背包问题
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本文目录
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- 背包问题
- 0-1 背包问题
- 完全背包问题
- 多重背包问题
背包问题
背包问题（Knapsack Problem）是一类常见的组合优化问题。其问题描述为：给定一个固定大小、能够携重 W W W 的背包，以及一组有价值和重量的物品，找出一个最佳解决方案，使得装入背包的物品总重量不超过 W W W，且总价值最大。
通常情况下，背包问题可以分为以下三类：
- 0-1 背包问题：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
- 完全背包问题：每种物品有无限件，可以选择放多少件或不放。
- 多重背包问题：每种物品有 n i n_i ni 件，可以选择放多少件或不放。
本文将介绍如何使用 Python 解决以上三类背包问题。
0-1 背包问题
0-1 背包问题（0-1 Knapsack Problem）是最基础的背包问题。其问题描述为：给定一个固定大小、能够携重 W W W 的背包，以及 N N N 个价值、重量分别为 v i v_i vi、 w i w_i wi 的物品，找出一个最佳解决方案，使得装入背包的物品总重量不超过 W W W，且总价值最大。
例
有一个容量为 10 10 10 的背包，现有 4 4 4 个物品，其价值和重量分别为：
| 物品 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 价值 | 1 | 3 | 5 | 9 |
| 重量 | 2 | 3 | 4 | 7 |
求背包能装下的最大价值以及取得最大价值时的物品组合。
解
N = 4 # 物品数量
W = 10 # 背包容量
v = [0, 1, 3, 5, 9] # 物品价值
w = [0, 2, 3, 4, 7] # 物品重量
dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(N + 1)] # dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包的最大价值
flag = [
[0] * (W + 1) for _ in range(N + 1)
] # flag[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包最大价值时装入物品的最大编号
# dp 求解最大价值并更新 flag
for i in range(1, N + 1):
for j in range(1, W + 1):
if j < w[i]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
elif dp[i - 1][j] > dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
flag[i][j] = flag[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]
flag[i][j] = i - 1
ans = dp[N][W]
# 追踪解方案
sol = [0] * N
while flag[N][W] != 0:
temp = flag[N][W]
sol[temp] = 1
W -= w[temp]
N = temp - 1
# 输出结果
print(f"最大价值为：{ans}")
print(f"取得最大价值时的物品组合为：{sol}")
结果
最大价值为：12
取得最大价值时的物品组合为：[0, 1, 0, 1]
完全背包问题
完全背包问题（Unbounded Knapsack Problem）是背包问题的一种变种。其问题描述为：给定一个固定大小、能够携重 W W W 的背包，以及 N N N 个价值、重量分别为 v i v_i vi、 w i w_i wi 的物品，每种物品有无限件，可以选择放多少件或不放，找出一个最佳解决方案，使得装入背包的物品总重量不超过 W W W，且总价值最大。
例
有一个容量为 15 15 15 的背包，现有 4 4 4 个物品，其价值和重量分别为：
| 物品 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 价值 | 1 | 3 | 5 | 9 |
| 重量 | 2 | 3 | 4 | 7 |
求背包能装下的最大价值以及取得最大价值时的物品组合。
解
N = 4 # 物品数量
W = 15 # 背包容量
v = [0, 1, 3, 5, 9] # 物品价值
w = [0, 2, 3, 4, 7] # 物品重量
dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(N + 1)] # dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包的最大价值
flag = [
[0] * (W + 1) for _ in range(N + 1)
] # flag[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包最大价值时装入物品的最大编号
# dp 求解最大价值并更新 flag
for i in range(1, N + 1):
for j in range(1, W + 1):
if j >= w[i]:
if dp[i - 1][j] < dp[i][j - w[i]] + v[i]:
dp[i][j] = dp[i][j - w[i]] + v[i]
flag[i][j] = i
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
flag[i][j] = flag[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
flag[i][j] = flag[i - 1][j]
ans = dp[N][W]
# 追踪解方案
sol = [0] * N
while flag[N][W] != 0:
N = flag[N][W]
sol[N - 1] = 1
W -= w[N]
while flag[N][W] == N:
W = W - w[N]
sol[N - 1] += 1
# 输出结果
print(f"最大价值为：{ans}")
print(f"取得最大价值时的物品组合为：{sol}")
结果
最大价值为：19
取得最大价值时的物品组合为：[0, 0, 2, 1]
多重背包问题
多重背包问题（Bounded Knapsack Problem）是背包问题的一种变种。其问题描述为：给定一个固定大小、能够携重 W W W 的背包，以及 N N N 个价值、重量分别为 v i v_i vi、 w i w_i wi 的物品，每种物品有 n i n_i ni 件，可以选择放多少件或不放，找出一个最佳解决方案，使得装入背包的物品总重量不超过 W W W，且总价值最大。
例
有一个容量为 25 25 25 的背包，现有 4 4 4 个物品，其价值、重量、数量分别为：
| 物品 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 价值 | 1 | 3 | 5 | 9 |
| 重量 | 2 | 3 | 4 | 7 |
| 数量 | 5 | 4 | 3 | 2 |
求背包能装下的最大价值以及取得最大价值时的物品组合。
解
N = 4 # 物品数量
W = 25 # 背包容量
v = [0, 1, 3, 5, 9] # 物品价值
w = [0, 2, 3, 4, 7] # 物品重量
n = [0, 5, 4, 3, 2] # 物品数量
dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(N + 1)] # dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包的最大价值
flag = [
[0] * (W + 1) for _ in range(N + 1)
] # flag[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包最大价值时装入物品的最大编号
# dp 求解最大价值并更新 flag
for i in range(1, N + 1):
for j in range(1, W + 1):
for k in range(min(n[i], j // w[i]) + 1):
if dp[i][j] < dp[i - 1][j - k * w[i]] + k * v[i]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - k * w[i]] + k * v[i]
flag[i][j] = k
ans = dp[N][W]
# 追踪解方案
sol = [0] * N
j = W
for i in range(N, 0, -1):
sol[i - 1] = flag[i][j]
j -= flag[i][j] * w[i]
# 输出结果
print(f"最大价值为：{ans}")
print(f"取得最大价值时的物品组合为：{sol}")
结果
最大价值为：31
取得最大价值时的物品组合为：[0, 1, 2, 2]