【图论】Flood Fill

算法提高课笔记

定义

什么是 Flood Fill 算法？
字面意思理解：洪水覆盖
也就是说，下图的格子分为两大类，一类比较高一类比较低，现在从任意一处较低的格子开始灌水，下一次水将会覆盖它相邻的、较低的格子，依此类推
这就相当于是BFS的思想（也可以用DFS实现，但BFS不会出现爆栈的问题）

Flood Fill 算法可以在线性时间复杂度内，找到某个点所在的连通块

例题

池塘计数

原题链接

农夫约翰有一片 N∗M 的矩形土地。

最近，由于降雨的原因，部分土地被水淹没了。

现在用一个字符矩阵来表示他的土地。

每个单元格内，如果包含雨水，则用”W”表示，如果不含雨水，则用”.”表示。

现在，约翰想知道他的土地中形成了多少片池塘。

每组相连的积水单元格集合可以看作是一片池塘。

每个单元格视为与其上、下、左、右、左上、右上、左下、右下八个邻近单元格相连。

请你输出共有多少片池塘，即矩阵中共有多少片相连的”W”块。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

接下来 N 行，每行包含 M 个字符，字符为”W”或”.”，用以表示矩形土地的积水状况，字符之间没有空格。

输出格式

输出一个整数，表示池塘数目。

数据范围
1 ≤ N, M ≤ 1000

输入样例

10 12
W........WW.
.WWW.....WWW
....WW...WW.
.........WW.
.........W..
..W......W..
.W.W.....WW.
W.W.W.....W.
.W.W......W.
..W.......W.

输出样例

3

题意

模板题，问有多少连通块

思路

按顺序遍历图上每一个点，如果这个点是洼地且未被遍历过，就在答案的基础上加1，并且标记这个连通块的所有点，直到遍历完整个图

代码

#include 

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
#define ft first
#define sd second

const int N = 1010, M = N * N;

int n, m;
char g[N][N]; // 存图
queue<PII> q;
bool st[N][N]; // 判重

void bfs(int x, int y)
{
    q.push({x, y});
    st[x][y] = true;

    while (q.size())
    {
        PII t = q.front();
        q.pop();

        for (int i = t.ft - 1; i <= t.ft + 1; i ++ )
            for (int j = t.sd - 1; j <= t.sd + 1; j ++ )
            {
                if (i == t.ft && j == t.sd) continue; // 正好遍历到当前点
                if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= m) continue; // 位置不合法
                if (g[i][j] == '.' || st[i][j]) continue; // 不是洼地或已遍历过

                q.push({i, j});
                st[i][j] = true;
            }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];

    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            if (g[i][j] == 'W' && !st[i][j])
            {
                bfs(i, j);
                cnt ++ ;
            }
    cout << cnt << '\n';
}

城堡问题

原题链接

    1   2   3   4   5   6   7  
   #############################
 1 #   |   #   |   #   |   |   #
   #####---#####---#---#####---#
 2 #   #   |   #   #   #   #   #
   #---#####---#####---#####---#
 3 #   |   |   #   #   #   #   #
   #---#########---#####---#---#
 4 #   #   |   |   |   |   #   #
   #############################
              (图 1)

   #  = Wall   
   |  = No wall
   -  = No wall

   方向：上北下南左西右东。

图1是一个城堡的地形图。

请你编写一个程序，计算城堡一共有多少房间，最大的房间有多大。

城堡被分割成 m∗n 个方格区域，每个方格区域可以有0~4面墙。

注意：墙体厚度忽略不计。

输入格式

第一行包含两个整数 m 和 n，分别表示城堡南北方向的长度和东西方向的长度。

接下来 m 行，每行包含 n 个整数，每个整数都表示平面图对应位置的方块的墙的特征。

每个方块中墙的特征由数字 P 来描述，我们用1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙，P 为该方块包含墙的数字之和。

例如，如果一个方块的 P 为3，则 3 = 1 + 2，该方块包含西墙和北墙。

城堡的内墙被计算两次，方块(1,1)的南墙同时也是方块(2,1)的北墙。

输入的数据保证城堡至少有两个房间。

输出格式

共两行，第一行输出房间总数，第二行输出最大房间的面积（方块数）。

数据范围

1 ≤ m, n ≤ 50,
0 ≤ P ≤ 15

输入样例

4 7 
11 6 11 6 3 10 6 
7 9 6 13 5 15 5 
1 10 12 7 13 7 5 
13 11 10 8 10 12 13 

输出样例

5
9

题意

给出一个城堡中每个房间四面是否有墙壁，输出该城堡有多少个连通的房间，最大的连通块面积是多少

思路

和上一题基本一样，判断每个房间的四面墙壁情况，只是要额外加一个面积的计算

代码

#include 

using namespace std;

const int N = 55;

typedef pair<int, int> PII;
#define ft first
#define sd second

int n, m;
int g[N][N]; // 存图
queue<PII> q;
bool st[N][N]; // 判重

int bfs(int x, int y)
{
    int area = 0;
    int dx[4] = {0, -1, 0, 1}, dy[4] = {-1, 0, 1, 0};
    q.push({x, y});
    st[x][y] = true;
    while (q.size())
    {
        PII t = q.front();
        q.pop();
        area ++ ;

        for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        {
            int a = t.ft + dx[i], b = t.sd + dy[i];
            if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue; // 位置不合法
            if (st[a][b]) continue; // 已被遍历
            if (g[t.ft][t.sd] >> i & 1) continue; // 这个方向是墙

            q.push({a, b});
            st[a][b] = true;
        }
    }
    return area;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            cin >> g[i][j];

    int cnt = 0, area = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            if (!st[i][j])
            {
                area = max(area, bfs(i, j));
                cnt ++ ;
            }

    cout << cnt << '\n' << area;
}

山峰和山谷

原题链接

FGD小朋友特别喜欢爬山，在爬山的时候他就在研究山峰和山谷。

为了能够对旅程有一个安排，他想知道山峰和山谷的数量。

给定一个地图，为FGD想要旅行的区域，地图被分为 n×n 的网格，每个格子 (i,j) 的高度 w(i,j) 是给定的。

若两个格子有公共顶点，那么它们就是相邻的格子，如与 (i,j) 相邻的格子有(i−1,j−1),(i−1,j),(i−1,j+1),(i,j−1),(i,j+1),(i+1,j−1),(i+1,j),(i+1,j+1)。

我们定义一个格子的集合 S 为山峰（山谷）当且仅当：

1. S 的所有格子都有相同的高度。
2. S 的所有格子都连通。
3. 对于 s 属于 S，与 s 相邻的 s′ 不属于 S，都有 ws>ws′（山峰），或者 ws
4. 如果周围不存在相邻区域，则同时将其视为山峰和山谷。

你的任务是，对于给定的地图，求出山峰和山谷的数量，如果所有格子都有相同的高度，那么整个地图即是山峰，又是山谷。

输入格式

第一行包含一个正整数 n，表示地图的大小。

接下来一个 n×n 的矩阵，表示地图上每个格子的高度 w。

输出格式

共一行，包含两个整数，表示山峰和山谷的数量。

数据范围

1 ≤ n ≤ 1000,
0 ≤ w ≤ 109

输入样例1

5
8 8 8 7 7
7 7 8 8 7
7 7 7 7 7
7 8 8 7 8
7 8 8 8 8

输出样例1

2 1

输入样例2

5
5 7 8 3 1
5 5 7 6 6
6 6 6 2 8
5 7 2 5 8
7 1 0 1 7

输出样例2

3 3

题意

给出不同地块的高度，高度相同的连通块周边高度都小于等于该连通块高度，那么该连通块为山峰，反之为山谷，问山峰山谷数量

思路

依旧是遍历每一个点，如果没有遍历过该点，就遍历该点所在连通块，直到找到连通块边界，再判断这个连通块是否为山峰或山谷

代码

#include 

using namespace std;

const int N = 1010, M = N * N;

typedef pair<int, int> PII;
#define ft first
#define sd second

int n;
int h[N][N];
queue<PII> q;
bool st[N][N];

void bfs(int x, int y, bool& has_higher, bool& has_lower)
{
    q.push({x, y});
    st[x][y] = true;

    while (q.size())
    {
        PII t = q.front();
        q.pop();

        for (int i = t.ft - 1; i <= t.ft + 1; i ++ )
            for (int j = t.sd - 1; j <= t.sd + 1; j ++ )
            {
                if (i == t.ft && j == t.sd) continue; // 遍历到自身
                if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= n) continue; // 位置不合法
                if (h[i][j] != h[t.ft][t.sd]) // 边界
                {
                    if (h[i][j] > h[t.ft][t.sd]) has_higher = true;
                    else has_lower = true;
                }
                else if (!st[i][j]) // 非边界且未遍历
                {
                    q.push({i, j});
                    st[i][j] = true;
                }
            }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            cin >> h[i][j];

    int peak = 0, valley = 0;
    for (int i = 0; i< n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            if (!st[i][j])
            {
                bool has_higher = false, has_lower = false;
                bfs(i, j, has_higher, has_lower);
                if (!has_higher) peak ++ ;
                if (!has_lower) valley ++ ;
            }

    cout << peak << ' ' << valley << '\n';
}