第一章 整数的可除性

  第一章主要涉及内容是整数的除法，包括整除，最大公因数，最小公倍数，解线性方程组，整数分解和素数定理。

第一节 整除

1.1定义:

这里实际上类似一个从属关系，。

• 0为任何数的倍数
• 1为任何数的因数
• 任何非0整数a既为自身的因数，也是自身的倍数

1.2整除的性质

• 1 .传递性
  
• 2 .线性变换稳定

由此可以看出，整除对于倍数的线性组合是稳定的(确保倍数至少为0或1)。

• 3 .
  

1.3欧几里得除法

存在性可以通过步长为b的数轴实现，可以证明a落在其中的一个区间中。
唯一性则可通过反证法，通过移项可知等式两侧的绝对值不可能相等，从而由矛盾得出唯一性。

1.4素数与平凡筛法

定义:若一个不为1的整数n的因数有且仅有自身和1,则称其为素数。否则称为合数。
(注:在国内潘承洞的书中，素数被扩展到了负数数域，此时则因数不为)

1.5素数筛法

基础定理1.

意义，这个定理给出了合数最小因数的上界，且证明了整数的非1最小因数为素数，为快速素数表建立奠定基础。
这里就可以将素数看成整数的因子，所有整数都可以表示为素数的线性组合(加,乘)。
虽然哥德巴赫猜想没有证明，但不妨碍我们将素数的个数设置为无限制。
(哥德巴赫猜想:任何大于2的偶数都可以写做两个素数之和)

基础定理2.

由基础定理1,２可以得到两个简单素数判定方法，也可以得到素数表的获取方法------平凡筛法

简单素数判定方法

1)遍历检验n不能被小于等于的非1正整数整除，则为素数
2)利用素数表，遍历检验小于的素数，若其不能整除n则为素数

素数表建立方法

1)对范围内的每个数进行素数判定
2)先判定出 范围内的素数，然后去除表内素数的所有倍数

练习

1.证明:
2.证明:
3.证明:
(a,b)指的是最大公因数，下一节会讲到