高等数学笔记

高等数学

第一章 函数，极限，连续

极限

数列极限定义：
如果对于任意给定的$ϵ>0$，总存在正整数N，当n>N时，恒有$|x_n-a|<ϵ$成立，则称常数a为数列$\{x_n\}$当$n$趋向于无穷时的极限，记为$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

即是 $\forall ϵ>0,\exists N,n>N,使得|x_n-a|<ϵ$

等价无穷小

①$(1+x{)}^a-1\to ax$

②$1-co{s}^{a}x\to \frac{a}{2}{x}^2$

③ $x-\sin x\to \frac{x^3}{6}$     $\arcsin x-x\to \frac{x^3}{6}$

④ $x-\arctan x\to \frac{x^3}{3}$     $\tan x-x\to \frac{x^3}{3}$

⑤$x-ln(1+x)\to \frac{x^2}{2}$

⑥$(1+a(x){)}^{b(x)}\to e^{a(x)b(x)}$

泰勒展开

①$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^n}{n!},-\infty <x<+\infty$

②$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\infty <x<+\infty$

③$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},-\infty <x<+\infty$

④$\ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n},-1<x\le 1$

⑤$(1+x{)}^a=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}{x}^n=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}{x}^n$

⑥令⑤中的$a=-1$,可得：

$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2+...+(-1{)}^n{x}^n,-1<x<1$

⑦令⑥中的$x=-x$,可得：

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+...+x^n,-1<x<1$

⑧$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(2^{2n}-1)2^{2n}{B}_n}{(2n)!}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+...$

连续

连续性的概念

连续的定义：设$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，若$\underset{n\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$,则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续

间断点及其分类

间断点的定义：若$y=f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，但在$x0$处不连续，则称$x0$为$f(x)$的间断点
间断点的分类：

$间断点\{\begin{array}{rl}& 第一类间断点\{\begin{array}{rl}& 可去间断点：左右极限都存在且相等\\ & 跳跃间断点：左右极限都存在但不等\end{array}\\ & 第二类间断点\{\begin{array}{rl}& 无穷间断点：左右极限至少有个无穷\\ & 振荡间断点：左右极限振荡而不存在\end{array}\end{array}$

第二章 导数和微分

基本初等函数的导数公式

①$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

②$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$     $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$

③$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$    $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

④$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$    $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

⑤$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$    $(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

参数方程：

$\{\begin{array}{r}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$ $\Rightarrow$ $\{\begin{array}{r}dx=f^{\prime }(t)dt\\ dy=g^{\prime }(t)dt\end{array}$ $\Rightarrow$ $\{\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{dy}{dx}=\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}\\ y^{\prime \prime }& =\frac{d\frac{dy}{dx}}{dx}=\frac{d[\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}]}{f^{\prime }(t)dt}=\frac{d[\frac{g^{\prime }(t)}{f^{\prime }(t)}]}{dt}\frac{1}{f^{\prime }(t)}\end{array}$

第三章 微分中值定理及导数应用

曲率$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$
曲率半径$\rho =\frac{1}{K}$

极值点，零点，驻点只是一个横坐标点，如$x=x_0$，而拐点是具体的点，如$(x_0,f(x_0))$
极值定义设函数$f(x)$在$x_0$附近有定义，如果对$x_0$的去心邻域，都有$f(x)<f(x_0)$，则$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值，对应的极值点就是$x_0$。

驻点使一阶导数等于0的点，叫驻点
拐点使二阶导数等于0的点，叫拐点

凹型：$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},f^{\prime \prime }(x)>0$ 如$f(x)=x^2$
凸型：$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},f^{\prime \prime }(x)<0$ 如$f(x)=-x^2$

十大定理

①有界与最值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$m\le f(x)\le M$ $\Rightarrow$ $f(x)$一定能取得最大值和最小值

②介值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$m\le f(x)\le M,m\le \mu \le M$ $\Rightarrow$ 在$[a,b]$内至少存在一点$\xi$使得$f^{\prime }(\xi )=\mu$

③平均值定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，当$a<x_1<x_2<...<x_n<b$时，在$[x_1,x_n]$内至少有一点$\xi$使得$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}$

④零点定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号 $\Rightarrow$ 在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$使得$f(\xi )=0$

⑤费马定理

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$x_0$在开区间$(a,b)$中，$f(x)$在$x_0$可导且取极值 $\Rightarrow$$f(x_0)=0$

⑥罗尔定理

$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，$f(a)=f(b)\Rightarrow$ 在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$使得$f^{\prime }(\xi )=0$

⑦拉格朗日中值定理

$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，$\Rightarrow$ 在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

⑧柯西中值定理

$f(x),g(x)$在闭区间$[a,b]$连续，在$(a,b)$可导，$\Rightarrow$ 在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$使得$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}$

几何意义：令横坐标为g(x)，纵坐标为f(x)，根据拉格朗日中值定理，有$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{df(\xi )}{dg(\xi )}=\frac{\frac{df(\xi )}{dx}}{\frac{dg(\xi )}{dx}}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

⑨泰勒公式

皮亚诺型余项泰勒公式

如果$f(x)$在点$x_0$有直至n阶的导数，则有
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f^{\prime \prime }(x_0)\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0{)}^n}{n!}+o[(x-x_0{)}^n]$$称$R_n(x)=o[(x-x_0{)}^n]$为皮亚诺余项，令$x_0=0$，可得麦克劳林公式：$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+f^{\prime \prime }(0)\frac{x^2}{2!}+f^{(n)}(0)\frac{(x-x_0{)}^n}{n!}+o[x^n]$$

拉格朗日型余项泰勒公式

设函数$f(x)$在含有$x_0$的开区间$(a,b)$内有$n+1$阶的导数，则当$x\in (a,b)$时有$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f^{\prime \prime }(x_0)\frac{(x-x_0{)}^2}{2!}+f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0{)}^n}{n!}+R_n(x)$$其中$R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi )\frac{(x-x_0{)}^{n+1}}{(n+1)!}$，称为拉格朗日型余项，其中，$\xi \in (x_0,x)$

⑩积分中值定理

$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续$\Rightarrow$ 在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

$f(x),g(x)$在闭区间$[a,b]$连续，$g(x)$不变号$\Rightarrow$ 在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$

第四章 积分

不定积分基本公式

①$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

②$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$     $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

③$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$    $\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

④$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$    $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

⑤$\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$    $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

⑥$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$    $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$

⑦ $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$    $\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

*万能代换

令$\tan \frac{x}{2}=t$
可得 $\{\begin{array}{r}\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ dx=\frac{2}{1+t^2}dt\end{array}$

一般方法

1. 若$R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$,令$u=\cos x$
2. 若$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$,令$u=\sin x$
3. 若$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$,令$u=\tan x$

第五章 定积分和反常积分

定积分存在的充分条件

定理：若$f(x)$ 在$[a,b]$上连续，则${\int }_a^{b}f(x)dx$必定存在
定理：若$f(x)$ 在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则${\int }_a^{b}f(x)dx$必定存在
定理：若$f(x)$ 在$[a,b]$上只有有限个第一类间断点，则${\int }_a^{b}f(x)dx$必定存在

原函数

原函数存在 $\ne$ 可积
原函数存在的充分条件：连续
另外如果函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。

变上限积分的导数

1. $[{\int }_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(t)\mathrm{dt}{]}^{\prime }=g_1^{{}^{\prime }}(x)f(g_1(x))-g_2^{{}^{\prime }}(x)f(g_2(x))$
2. $\begin{array}{rl}[{\int }_1^{2}f(x+t)\mathrm{dt}{]}^{\prime }=& [{\int }_{x+1}^{x+2}f(x+t)\mathrm{d}(\mathrm{x}+\mathrm{t}){]}^{\prime }\\ & =f(x+2)-f(x+1)\end{array}$

可爱因子

$\underset{n\to \infty }{\lim }...=\frac{1}{n}f(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{2}{n})+\frac{1}{n}f(\frac{3}{n})+..+\frac{1}{n}f(\frac{n}{n})$
将区间$n$等分，$\frac{1}{n}$看作增加量$\Delta x$ ,称之为可爱因子，则
原式$=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})={\int }_0^{1}f(x)dx$

第七章 微分方程

一阶微分方程

齐次微分方程

令$u=\frac{y}{x}$，则$y^{\prime }=u+u^{\prime }x$

一阶线性微分方程

形如$y^{\prime }+f(x)y=g(x)$
通解$y=e^{-\int f(x)dx}[\int e^{\int f(x)dx}g(x)+C]$

高阶微分方程

可降阶的高阶方程

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型 $\Rightarrow$ 令$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=p^{\prime }$

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型$\Rightarrow$令$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=p\frac{dp}{dy}$
$\{\begin{array}{r}{y}^{\prime \prime }=p^{\prime }=\frac{dp}{dx}\\ y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=p\end{array}$ $\Rightarrow$ $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dx}\frac{dx}{dy}p=p\frac{dp}{dy}$

常系数齐次线性微分方程

形如$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$$\Rightarrow$ 特征方程$r^2+br+c=0$
根据特征方程解的情况来确定$y$
①$r_1\ne r_2，且r_1,r_2是实数\Rightarrow y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
②$r_1=r_2，且r_1,r_2是实数\Rightarrow y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{2}x}$
③$r_1=a+bi，r_2=a-bi,r_1,r_2是一对共轭复数\Rightarrow y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$

常系数非齐次线性微分方程

形如$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=e^{tx}f(x)\Rightarrow$ $$y^{\ast }=x^k{e}^{tx}g(x)$$，其中 ：
① $g(x),f(x)$同次
②$k$是特征方程含根$t$的重复次数

形如$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=e^{tx}[f_1(x)\cos bx+f_2(x)\sin x]\Rightarrow$ $$y^{\ast }=x^k{e}^{tx}[g_1(x)\cos bx+g_2(x)\sin bx]$$，其中 ：
① $g_1(x),g_2(x)$与$f_1(x),f_2(x)$的最高次等同
②如果$t+bi$是特征方程的解$k=1$,否则为$0$

第八章 多元函数微分学

基本概念

偏导数

$z=f(x,y)$在 $(x_0,y_0)$的某一邻域有定义，且$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在
$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

全微分

全微分定义

如果$z=f(x,y)$在 $(x_0,y_0)$的全增量$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$ 可表示为
$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ),\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$$

$A\Delta x+B\Delta y$为全微分，即$dz=Adx+Bdy=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

判定全微分是否存在

①$f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$是否存在
②$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$是否为零

连续、可偏导及可微直接的关系

多元函数的极值和最值

无条件极值

极值的定义设函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$某邻域内有定义，如果对$(x_0,y_0)$的去心邻域，都有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$，则$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的一个极大值，对应的极值点就是$(x_0,y_0)$。
极值的必要条件$\{\begin{array}{r}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=0\\ f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0\end{array}$
极值的充分条件
$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$
$A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0),B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)=f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0),C=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$

• $AC-B^2>0$，$(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的极值点
  ①$A<0$,$(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的极大值点
  ②$A>0$,$(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的极小值点
• $AC-B^2<0$，$(x_0,y_0)$不是函数$f(x,y)$的极值点
• $AC-B^2=0$，$(x_0,y_0)$可能是函数$f(x,y)$的极值点，也可能不是函数$f(x,y)$的极值点，用定义判断

约束极值

$z=f(x,y)$在条件$\psi (x,y)=0$下取得极值
①构造拉格朗日函数$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \psi (x,y)$
②$\{\begin{array}{rl}& f_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\psi }_x^{\prime }(x,y)=0\\ & f_y^{\prime }(x,y)+\lambda {\psi }_y^{\prime }(x,y)=0\\ & \psi (x,y)=0\end{array}$

求体积

$V=Sh=\int dV$

旋转体

$S(x)=f(x)-g(x)$

1. 绕x轴
   ${\int }_a^b\pi (f(x)-g(x){)}^{2}dx$
2. 绕y轴
   ${\int }_a^{b}2\pi (f(x)-g(x))xdx$?

第十章 无穷级数

常数项级数

正项级数

①
$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$   ，当$p>1$时收敛，当$p\le 1$时发散
$\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^n$   ，当$q<1$时收敛，当$p\ge 1$时发散

②比值法：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho \Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\{\begin{array}{r}收敛，\rho <1\\ 发散，\rho >1\\ 不一定，\rho =1\end{array}$

③根值法：$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho \Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\{\begin{array}{r}收敛，\rho <1\\ 发散，\rho >1\\ 不一定，\rho =1\end{array}$

④$a=f(n)\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$与${\int }_1^{\infty }f(x)dx$同敛散

交错级数

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n,u_n>0$
莱布尼茨准则：$\{\begin{array}{r}\{u_n\}单调减\\ \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0\end{array}\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n收敛$

任意级数

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛：$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|收敛$

条件收敛：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n收敛，\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|发散$

傅里叶级数

傅里叶系数和傅里叶级数

函数$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，且在$[-\pi ,\pi ]$可积，则称$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,n=0,1,\mathrm{2...}$$$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx,n=1,\mathrm{2...}$$为$f(x)$的傅里叶系数，称级数$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$为$f(x)$以$2\pi$为周期的傅里叶级数。即$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

收敛定理（狄利克雷）

$①S(x)=f(x),当x为f(x)的连续点$
$②S(x)=\frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2},当x为f(x)的间断点$
$③S(x)=\frac{f((-\pi {)}^{+})+f({\pi }^{-})}{2},x=\pm \pi$

奇偶函数的展开（展开为正余弦

• $f(x)为奇函数\iff 展开为正弦$
  $$a_n=0,n=0,1,\mathrm{2...}$$$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin nxdx,n=1,\mathrm{2...}$$

• $f(x)为偶函数\iff 展开为余弦$
  $$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos nxdx,n=0,1,\mathrm{2...}$$$$b_n=0,n=1,\mathrm{2...}$$

周期为2l展开

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,\mathrm{2...}$$$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx,n=1,\mathrm{2...}$$

第十二章 多元微分学及其应用

三重积分

直角坐标

先一后二或先二后一

柱坐标

$\iiint f(x,y,z)\mathrm{dv}=\iiint f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{drd}\theta \mathrm{dz}$

球坐标

$\iiint f(x,y,z)dv=\iiint f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi \mathrm{drd}\phi \mathrm{d}\theta$

曲线积分

第一类：弧长线积分

直接法

①L：$\{\begin{array}{r}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},a\le t\le b$ $\Rightarrow$ ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$

②L：$y=y(x),a\le x\le b$ $\Rightarrow$ ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}dt$

③L：$r=r(\theta ),a\le \theta \le b$ $\Rightarrow$ ${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\sqrt{r^2+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$

第二类：坐标线积分

格林公式(平面)

顺时针为负，逆时针为正
${\oint }_{L}Pdx+Qdy=\iint (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
${\oint }_{L}Pdx+Qdy={\oint }_L(P\cos \alpha +Q\cos \beta )ds$

斯托克斯

∮ L P d x + Q d y + R d z = ∬ Σ ∣ cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ d S = ∬ Σ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \displaystyle \oint_L Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\Sigma \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \cos \beta &\cos \gamma \\ \cfrac{\partial }{\partial x}&\cfrac{\partial }{\partial y} &\cfrac{\partial }{\partial z} \\ P& Q&R \\ \end{matrix} \right| dS=\iint_\Sigma (\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dydz+ (\cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dzdx+ (\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy ∮L​Pdx+Qdy+Rdz=∬Σ​ ​cosα∂x∂​P​cosβ∂y∂​Q​cosγ∂z∂​R​ ​dS=∬Σ​(∂y∂R​−∂z∂Q​)dydz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dzdx+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy

曲面积分

直接法

上侧取正，下侧取负

高斯公式

$\iint Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$

场论

变力做功

力$F=Pi+Qj+Rk$
则功$W={\int }_{AB}Pdx+Qdy+Rdz$

通量

向量场$U=Pi+Qj+Rk$
则通量$\Phi ={\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdydx$

散度

向量场$A=\{P,Q,R\}$
则散度$divA=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

旋度

向量场$A=\{P,Q,R\}$
则旋度 r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ rot A=\left| \begin{matrix} i & j &k \\ \cfrac{\partial }{\partial x}&\cfrac{\partial }{\partial y} &\cfrac{\partial }{\partial z} \\ P& Q&R \\ \end{matrix} \right| rotA=