高等数学笔记

目录

  • 第一章 函数,极限,连续
    • 极限
      • 等价无穷小
      • 泰勒展开
    • 连续
      • 连续性的概念
      • 间断点及其分类
  • 第二章 导数和微分
    • 基本初等函数的导数公式
  • 第三章 微分中值定理及导数应用
    • 十大定理
      • ①有界与最值定理
      • ②介值定理
      • ③平均值定理
      • ④零点定理
      • ⑤费马定理
      • ⑥罗尔定理
      • ⑦拉格朗日中值定理
      • ⑧柯西中值定理
      • ⑨泰勒公式
        • 皮亚诺型余项泰勒公式
        • 拉格朗日型余项泰勒公式
      • ⑩积分中值定理
  • 第四章 积分
    • 不定积分基本公式
    • *万能代换
    • 一般方法
  • 第五章 定积分和反常积分
    • 定积分存在的充分条件
    • 原函数
    • 变上限积分的导数
    • 可爱因子
  • 第七章 微分方程
    • 一阶微分方程
      • 齐次微分方程
      • 一阶线性微分方程
    • 高阶微分方程
      • 可降阶的高阶方程
      • 常系数齐次线性微分方程
      • 常系数非齐次线性微分方程
  • 第八章 多元函数微分学
    • 基本概念
      • 偏导数
      • 全微分
        • 全微分定义
        • 判定全微分是否存在
        • 连续、可偏导及可微直接的关系
    • 多元函数的极值和最值
      • 无条件极值
      • 约束极值
    • 求体积
      • 旋转体
  • 第十章 无穷级数
    • 常数项级数
      • 正项级数
      • 交错级数
      • 任意级数
        • 绝对收敛与条件收敛
    • 傅里叶级数
      • 傅里叶系数和傅里叶级数
      • 收敛定理(狄利克雷)
      • 奇偶函数的展开(展开为正余弦
      • 周期为2l展开
  • 第十二章 多元微分学及其应用
    • 三重积分
      • 直角坐标
      • 柱坐标
      • 球坐标
    • 曲线积分
      • 第一类:弧长线积分
        • 直接法
      • 第二类:坐标线积分
        • 格林公式(平面)
        • 斯托克斯
    • 曲面积分
      • 直接法
      • 高斯公式
    • 场论
      • 变力做功
      • 通量
      • 散度
      • 旋度
      • 最大方向导数
  • 三角函数:
    • 平方和
    • 和角公式
    • 和差化积
    • 积化和差
    • 点火公式

高等数学

第一章 函数,极限,连续

极限

数列极限定义:
如果对于任意给定的 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0总存在正整数N,当n>N时,恒有 ∣ x n − a ∣ < ϵ |x_n-a|<\epsilon xna<ϵ成立,则称常数a为数列 { x n } \{x_n\} {xn} n n n趋向于无穷时的极限,记为 lim ⁡ n → ∞ x n = a \displaystyle \lim _{n \to \infty} x_n=a nlimxn=a

即是 ∀ ϵ > 0 , ∃ N , n > N , 使得 ∣ x n − a ∣ < ϵ \forall \epsilon>0,\exists N,n>N,使得|x_n-a|<\epsilon ϵ>0,N,n>N,使得xna<ϵ

等价无穷小

( 1 + x ) a − 1 → a x (1+x)^a-1 \rightarrow ax (1+x)a1ax

1 − c o s a x → a 2 x 2 1-cos^a x\rightarrow \cfrac a2 x^2 1cosax2ax2

x − sin ⁡ x → x 3 6 x-\sin x\rightarrow \cfrac{x^3}6 xsinx6x3     arcsin ⁡ x − x → x 3 6 \arcsin x -x\rightarrow \cfrac{x^3}6 arcsinxx6x3

x − arctan ⁡ x → x 3 3 x-\arctan x\rightarrow \cfrac{x^3}3 xarctanx3x3     tan ⁡ x − x → x 3 3 \tan x -x\rightarrow \cfrac{x^3}3 tanxx3x3

x − l n ( 1 + x ) → x 2 2 x-ln(1+x)\rightarrow \cfrac {x^2}2 xln(1+x)2x2

( 1 + a ( x ) ) b ( x ) → e a ( x ) b ( x ) (1+a(x))^{b(x)} \rightarrow e^{a(x)b(x)} (1+a(x))b(x)ea(x)b(x)

泰勒展开

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x n n ! , − ∞ < x < + ∞ \displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}=1+x+\cfrac {x^2}{2!}+\cfrac {x^3}{3!}+\cfrac {x^n}{n!} ,-\inftyex=n=0n!xn=1+x+2!x2+3!x3+n!xn,<x<+

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , − ∞ < x < + ∞ \displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\cfrac {x^3}{3!}+(-1)^{n}\cfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)!},-\inftysinx=n=0(2n+1)!(1)nx2n+1=x3!x3+(1)n(2n+1)!x2n+1,<x<+

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! , − ∞ < x < + ∞ \displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=1-\cfrac {x^2}{2!}+(-1)^{n}\cfrac {x^{2n}}{(2n)!},-\inftycosx=n=0(2n)!(1)nx2n=12!x2+(1)n(2n)!x2n,<x<+

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n = x − x 2 2 + ( − 1 ) n − 1 x n n , − 1 < x ≤ 1 \displaystyle \ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}=x-\cfrac{x^2} 2+(-1)^{n-1}\cfrac{x^n} n,-1ln(1+x)=n=0n(1)n+1xn=x2x2+(1)n1nxn,1<x1

( 1 + x ) a = ∑ n = 0 ∞ a ( a − 1 ) . . . ( a − n + 1 ) n ! x n = 1 + a x + a ( a − 1 ) 2 ! x 2 + . . . + a ( a − 1 ) . . . ( a − n + 1 ) n ! x n \displaystyle(1+x)^a=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^n=1+ax+\cfrac{a(a-1)}{2!}x^2+...+\cfrac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^n (1+x)a=n=0n!a(a1)...(an+1)xn=1+ax+2!a(a1)x2+...+n!a(a1)...(an+1)xn

⑥令⑤中的 a = − 1 a=-1 a=1,可得:

1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 + . . . + ( − 1 ) n x n , − 1 < x < 1 \displaystyle\cfrac1{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^n=1-x+x^2+...+(-1)^{n}x^n,-11+x1=n=0(1)nxn=1x+x2+...+(1)nxn,1<x<1

⑦令⑥中的 x = − x x=-x x=x,可得:

1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + . . . + x n , − 1 < x < 1 \displaystyle\cfrac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+...+x^n,-11x1=n=0xn=1+x+x2+...+xn,1<x<1

tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ ( 2 2 n − 1 ) 2 2 n B n ( 2 n ) ! = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + . . . \displaystyle \tan x=\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{(2^{2n}-1)2^{2n}B_n}{(2n)!}=x+\cfrac{x^3}{3}+\cfrac{2x^5}{15}+\cfrac{17x^7}{315}+... tanx=n=1(2n)!(22n1)22nBn=x+3x3+152x5+31517x7+...

连续

连续性的概念

连续的定义:设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某邻域内有定义,若 lim ⁡ n → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \displaystyle \lim _{n \to x_0} f(x)=f(x_0) nx0limf(x)=f(x0),则称 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0连续

间断点及其分类

间断点的定义:若 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某去心邻域内有定义,但在 x 0 x0 x0处不连续,则称 x 0 x0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的间断点
间断点的分类:

间断点 { 第一类间断点 { 可去间断点:左右极限都存在且相等 跳跃间断点:左右极限都存在但不等 第二类间断点 { 无穷间断点:左右极限至少有个无穷 振荡间断点:左右极限振荡而不存在 间断点\left\{ \begin{aligned} &第一类间断点\left\{\begin{aligned} &可去间断点:左右极限都存在且相等\\ &跳跃间断点:左右极限都存在但不等\\ \end{aligned}\right. \\ &第二类间断点\left\{\begin{aligned} &无穷间断点:左右极限至少有个无穷\\ &振荡间断点:左右极限振荡而不存在\\ \end{aligned}\right. \\ \end{aligned}\right. 间断点 第一类间断点{可去间断点:左右极限都存在且相等跳跃间断点:左右极限都存在但不等第二类间断点{无穷间断点:左右极限至少有个无穷振荡间断点:左右极限振荡而不存在

第二章 导数和微分

基本初等函数的导数公式

( ln ⁡ ∣ x ∣ ) ′ = 1 x \displaystyle (\ln |x|)'=\cfrac1x (lnx)=x1

( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x (\tan x)'= \sec^2 x (tanx)=sec2x     ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x (\cot x)'=-\csc^2 x (cotx)=csc2x

( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x (\sec x)'=\sec x \tan x (secx)=secxtanx    ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x (\csc x)'=-\csc x \cot x (cscx)=cscxcotx

( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x )'=\cfrac {1}{\sqrt {1-x^2 }} (arcsinx)=1x2 1    ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x )'=-\cfrac {1}{\sqrt {1-x^2 }} (arccosx)=1x2 1

( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x )'=\cfrac {1}{ {1+x^2 }} (arctanx)=1+x21    ( a r c c o t   x ) ′ = − 1 1 + x 2 (arccot \, x )'=-\cfrac {1}{ {1+x^2 }} (arccotx)=1+x21

参数方程:

{ x = f ( t ) y = g ( t ) \left\{\begin{aligned} x=f(t) \\ y=g(t) \end{aligned}\right. {x=f(t)y=g(t) ⇒ \Rightarrow { d x = f ′ ( t ) d t d y = g ′ ( t ) d t \left\{\begin{aligned} dx=f'(t)dt \\ dy=g'(t)dt \end{aligned}\right. {dx=f(t)dtdy=g(t)dt ⇒ \Rightarrow { y ′ = d y d x = g ′ ( t ) f ′ ( t ) y ′ ′ = d d y d x d x = d [ d y d t d t d x ] f ′ ( t ) d t = d [ g ′ ( t ) f ′ ( t ) ] d t 1 f ′ ( t ) \left\{\begin{aligned} y' &=\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{g'(t)}{f'(t)} \\ y'' &=\cfrac{d\cfrac{dy}{dx}}{dx} =\cfrac{d[\cfrac{dy}{dt}\cfrac{dt}{dx}]}{f'(t)dt} =\cfrac{d[\cfrac{g'(t)}{f'(t)}]}{dt}\cfrac{1}{f'(t)}\end{aligned}\right. yy′′=dxdy=f(t)g(t)=dxddxdy=f(t)dtd[dtdydxdt]=dtd[f(t)g(t)]f(t)1

第三章 微分中值定理及导数应用

曲率 K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 \displaystyle K=\cfrac {|y''|}{(1+y'^2)^{\frac 32}} K=(1+y′2)23y′′
曲率半径 ρ = 1 K \rho=\cfrac 1K ρ=K1

极值点,零点,驻点只是一个横坐标点,如 x = x 0 x=x_0 x=x0,而拐点是具体的点,如 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))
极值定义设函数 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0附近有定义,如果对 x 0 x_0 x0的去心邻域,都有 f ( x ) < f ( x 0 ) f(x)f(x)<f(x0),则 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)是函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个极大值,对应的极值点就是 x 0 x_0 x0

驻点使一阶导数等于0的点,叫驻点
拐点使二阶导数等于0的点,叫拐点

凹型 f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 , f ′ ′ ( x ) > 0 f(\cfrac{x_1+x_2}{2})<\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} , f''(x)>0 f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2),f′′(x)>0 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2
凸型 f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 , f ′ ′ ( x ) < 0 f(\cfrac{x_1+x_2}{2})>\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} , f''(x)<0 f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2),f′′(x)<0 f ( x ) = − x 2 f(x)=-x^2 f(x)=x2

十大定理

①有界与最值定理

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 m ≤ f ( x ) ≤ M m \leq f(x)\leq M mf(x)M ⇒ \Rightarrow f ( x ) f(x) f(x)一定能取得最大值和最小值

②介值定理

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 m ≤ f ( x ) ≤ M , m ≤ μ ≤ M m \leq f(x)\leq M,m \leq\mu\leq M mf(x)M,mμM ⇒ \Rightarrow [ a , b ] [a,b] [a,b]内至少存在一点 ξ \xi ξ使得 f ′ ( ξ ) = μ f'(\xi)=\mu f(ξ)=μ

③平均值定理

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,当 a < x 1 < x 2 < . . . < x n < b aa<x1<x2<...<xn<b时,在 [ x 1 , x n ] [x_1,x_n] [x1,xn]内至少有一点 ξ \xi ξ使得 f ( ξ ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + . . . + f ( x n ) n f(ξ)=\cfrac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n} f(ξ)=nf(x1)+f(x2)+...+f(xn)

④零点定理

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 f ( a ) f(a) f(a) f ( b ) f(b) f(b)异号 ⇒ \Rightarrow 在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少有一点 ξ \xi ξ使得 f ( ξ ) = 0 f(\xi)=0 f(ξ)=0

⑤费马定理

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,且 x 0 x_0 x0在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)中, f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0可导且取极值 ⇒ \Rightarrow f ( x 0 ) = 0 f(x_0)=0 f(x0)=0

⑥罗尔定理

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续,在 ( a , b ) (a,b) (a,b)可导, f ( a ) = f ( b ) ⇒ f(a)=f(b) \Rightarrow f(a)=f(b) ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少存在一点 ξ \xi ξ使得 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f(ξ)=0

⑦拉格朗日中值定理

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续,在 ( a , b ) (a,b) (a,b)可导, ⇒ \Rightarrow ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少存在一点 ξ \xi ξ使得 f ′ ( ξ ) = f ( a ) − f ( b ) a − b f'(\xi)=\cfrac {f(a)-f(b)}{a-b} f(ξ)=abf(a)f(b)

⑧柯西中值定理

f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续,在 ( a , b ) (a,b) (a,b)可导, ⇒ \Rightarrow ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少存在一点 ξ \xi ξ使得 f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) = f ( a ) − f ( b ) g ( a ) − g ( b ) \cfrac {f'(\xi)}{g'(\xi)}=\cfrac {f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} g(ξ)f(ξ)=g(a)g(b)f(a)f(b)

几何意义:令横坐标为g(x),纵坐标为f(x),根据拉格朗日中值定理,有 f ( a ) − f ( b ) g ( a ) − g ( b ) = d f ( ξ ) d g ( ξ ) = d f ( ξ ) d x d g ( ξ ) d x = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \cfrac {f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\cfrac {df(\xi)}{dg(\xi)}=\cfrac {\cfrac{df(\xi)}{dx}}{\cfrac{dg(\xi)}{dx}}=\cfrac {f'(\xi)}{g'(\xi)} g(a)g(b)f(a)f(b)=dg(ξ)df(ξ)=dxdg(ξ)dxdf(ξ)=g(ξ)f(ξ)

⑨泰勒公式

皮亚诺型余项泰勒公式

如果 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0有直至n阶的导数,则有
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! + o [ ( x − x 0 ) n ] f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\cfrac {(x-x_0)^2}{2!}+f^{(n)}(x_0)\cfrac {(x-x_0)^n}{n!}+o[(x-x_0)^n] f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f′′(x0)2!(xx0)2+f(n)(x0)n!(xx0)n+o[(xx0)n] R n ( x ) = o [ ( x − x 0 ) n ] R_n(x)=o[(x-x_0)^n] Rn(x)=o[(xx0)n]皮亚诺余项,令 x 0 = 0 x_0=0 x0=0,可得麦克劳林公式 f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) x 2 2 ! + f ( n ) ( 0 ) ( x − x 0 ) n n ! + o [ x n ] f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)\cfrac {x^2}{2!}+f^{(n)}(0)\cfrac {(x-x_0)^n}{n!}+o[x^n] f(x)=f(0)+f(0)x+f′′(0)2!x2+f(n)(0)n!(xx0)n+o[xn]

拉格朗日型余项泰勒公式

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在含有 x 0 x_0 x0的开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内有 n + 1 n+1 n+1阶的导数,则当 x ∈ ( a , b ) x \in (a,b) x(a,b)时有 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 2 ! + f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(x_0)\cfrac {(x-x_0)^2}{2!}+f^{(n)}(x_0)\cfrac {(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f′′(x0)2!(xx0)2+f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)其中 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − x 0 ) n + 1 ( n + 1 ) ! R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi)\cfrac {(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1,称为拉格朗日型余项,其中, ξ ∈ ( x 0 , x ) \xi \in (x_0,x) ξ(x0,x)

⑩积分中值定理

f ( x ) f(x) f(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续 ⇒ \Rightarrow ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少存在一点 ξ \xi ξ,使得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \displaystyle \int ^b_a f(x) dx=f(\xi)(b-a) abf(x)dx=f(ξ)(ba)

f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]连续, g ( x ) g(x) g(x)不变号 ⇒ \Rightarrow ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少存在一点 ξ \xi ξ,使得 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x \displaystyle \int ^b_a f(x) g(x)dx=f(\xi)\int ^b_a g(x)dx abf(x)g(x)dx=f(ξ)abg(x)dx

第四章 积分

不定积分基本公式

∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C \displaystyle \int \cfrac1x dx=\ln |x|+C x1dx=lnx+C

∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C \displaystyle\int \sec^2 xdx=\tan x+C sec2xdx=tanx+C     ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C \displaystyle\int \csc^2 xdx=-\cot x+C csc2xdx=cotx+C

∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C \displaystyle\int \sec x \tan xdx=\sec x+C secxtanxdx=secx+C    ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C \displaystyle\int \csc x \cot xdx=-\csc x+C cscxcotxdx=cscx+C

∫ d x 1 − x 2 = arcsin ⁡ x + C \displaystyle\int \cfrac {dx}{\sqrt {1-x^2 }} = \arcsin x +C 1x2 dx=arcsinx+C    ∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a + C \displaystyle\int \cfrac {dx}{\sqrt {a^2-x^2 }} = \arcsin \cfrac xa +C a2x2 dx=arcsinax+C

∫ d x 1 + x 2 = arctan ⁡ x + C \displaystyle\int \cfrac {dx}{1+x^2 } = \arctan x +C 1+x2dx=arctanx+C    ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan ⁡ x a + C \displaystyle\int \cfrac {dx}{a^2+x^2 } =\cfrac 1a \arctan \cfrac xa +C a2+x2dx=a1arctanax+C

∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C \displaystyle\int \cfrac {dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln(x+\sqrt{x^2 + a^2} )+C x2+a2 dx=ln(x+x2+a2 )+C    ∫ d x x 2 − a 2 = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \displaystyle\int \cfrac {dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln |x+\sqrt{x^2 - a^2} |+C x2a2 dx=lnx+x2a2 +C

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C \displaystyle\int \sec x dx= \ln |\sec x+\tan x|+C secxdx=lnsecx+tanx+C    ∫ csc ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ csc ⁡ x + cot ⁡ x ∣ + C \displaystyle\int \csc x dx= -\ln |\csc x+\cot x|+C cscxdx=lncscx+cotx+C

*万能代换

tan ⁡ x 2 = t \tan \cfrac x2=t tan2x=t
可得 { sin ⁡ x = 2 t 1 + t 2 cos ⁡ x = 1 − t 2 1 + t 2 d x = 2 1 + t 2 d t \left\{ \begin{aligned} \sin x=\cfrac {2t}{1+t^2}\\ \cos x= \cfrac {1-t^2}{1+t^2}\\ dx=\cfrac {2}{1+t^2}dt \end{aligned}\right. sinx=1+t22tcosx=1+t21t2dx=1+t22dt

一般方法

  1. R ( − sin ⁡ x , cos ⁡ x ) = − R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x) R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx),令 u = cos ⁡ x u=\cos x u=cosx
  2. R ( sin ⁡ x , − cos ⁡ x ) = − R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x) R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx),令 u = sin ⁡ x u=\sin x u=sinx
  3. R ( − sin ⁡ x , − cos ⁡ x ) = R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x) R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx),令 u = tan ⁡ x u=\tan x u=tanx

第五章 定积分和反常积分

定积分存在的充分条件

定理:若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,则 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int^b_a f(x)dx abf(x)dx必定存在
定理:若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上有界,且只有有限个间断点,则 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int^b_a f(x)dx abf(x)dx必定存在
定理:若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上只有有限个第一类间断点,则 ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle \int^b_a f(x)dx abf(x)dx必定存在

原函数

原函数存在 ≠ \neq = 可积
原函数存在的充分条件:连续
另外如果函数含有第一类间断点,那么不存在原函数,含无穷型的间断点也不存在原函数。

变上限积分的导数

  1. [ ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f ( t ) d t ] ′ = g 1 ′ ( x ) f ( g 1 ( x ) ) − g 2 ′ ( x ) f ( g 2 ( x ) ) \displaystyle [\int_{g_1(x)} ^{g_2(x)}f(t) \mathrm{dt}]'=g_1^{'}(x)f(g_1(x))-g_2^{'}(x)f(g_2(x)) [g1(x)g2(x)f(t)dt]=g1(x)f(g1(x))g2(x)f(g2(x))
  2. [ ∫ 1 2 f ( x + t ) d t ] ′ = [ ∫ x + 1 x + 2 f ( x + t ) d ( x + t ) ] ′ = f ( x + 2 ) − f ( x + 1 ) \begin{aligned} \displaystyle [\int_{1} ^{2}f(x+t) \mathrm{dt}]'=&[\int_{x+1} ^{x+2}f(x+t) \mathrm{d(x+t)}]'\\ &=f(x+2)-f(x+1)\\ \end{aligned} [12f(x+t)dt]=[x+1x+2f(x+t)d(x+t)]=f(x+2)f(x+1)

可爱因子

lim ⁡ n → ∞ . . . = 1 n f ( 1 n ) + 1 n f ( 2 n ) + 1 n f ( 3 n ) + . . + 1 n f ( n n ) \displaystyle \lim _{n \to \infty} ...=\frac1nf(\frac1n)+\frac1nf(\frac2n)+\frac1nf(\frac3n)+..+\frac1nf(\frac nn) nlim...=n1f(n1)+n1f(n2)+n1f(n3)+..+n1f(nn)
将区间 n n n等分, 1 n \cfrac1n n1看作增加量 Δ x \Delta x Δx ,称之为可爱因子,则
原式 = ∑ i = 1 ∞ 1 n f ( i n ) = ∫ 0 1 f ( x ) d x =\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty } \frac1nf(\frac in)= \int^1_0 f(x)dx =i=1n1f(ni)=01f(x)dx

第七章 微分方程

一阶微分方程

齐次微分方程

u = y x u=\cfrac yx u=xy,则 y ′ = u + u ′ x y'=u+u'x y=u+ux

一阶线性微分方程

形如 y ′ + f ( x ) y = g ( x ) y'+f(x)y=g(x) y+f(x)y=g(x)
通解 y = e − ∫ f ( x ) d x [ ∫ e ∫ f ( x ) d x g ( x ) + C ] \displaystyle y=e^{- \int f(x)dx} [\displaystyle \int e^{\int f(x)dx}g(x)+C] y=ef(x)dx[ef(x)dxg(x)+C]

高阶微分方程

可降阶的高阶方程

y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y''=f(x,y') y′′=f(x,y) ⇒ \Rightarrow y ′ = p , y ′ ′ = p ′ y'=p,y''=p' y=p,y′′=p

y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y''=f(y,y') y′′=f(y,y) ⇒ \Rightarrow y ′ = p , y ′ ′ = p d p d y y'=p,y''=p \cfrac{dp}{dy} y=p,y′′=pdydp
{ y ′ ′ = p ′ = d p d x y ′ = d y d x = p \left\{\begin{aligned} y''=p'= \cfrac{dp}{dx}\\ y'= \cfrac{dy}{dx}=p\\ \end{aligned}\right. y′′=p=dxdpy=dxdy=p ⇒ \Rightarrow y ′ ′ = d p d x = d p d x d x d y p = p d p d y \displaystyle y''=\cfrac{dp}{dx}=\cfrac{dp}{dx} \cfrac{dx}{dy}p=p \cfrac{dp}{dy} y′′=dxdp=dxdpdydxp=pdydp

常系数齐次线性微分方程

形如 y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 y''+by'+cy=0 y′′+by+cy=0 ⇒ \Rightarrow 特征方程 r 2 + b r + c = 0 r^2+br+c=0 r2+br+c=0
根据特征方程解的情况来确定 y y y
r 1 ≠ r 2 ,且 r 1 , r 2 是实数 ⇒ y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x r_1 \neq r_2,且r_1,r_2是实数\Rightarrow y=C_1e^{\displaystyle r_1x}+C_2e^{\displaystyle r_2x} r1=r2,且r1,r2是实数y=C1er1x+C2er2x
r 1 = r 2 ,且 r 1 , r 2 是实数 ⇒ y = ( C 1 + C 2 x ) e r 2 x r_1 = r_2,且r_1,r_2是实数\Rightarrow y=(C_1+C_2x)e^{\displaystyle r_2x} r1=r2,且r1,r2是实数y=(C1+C2x)er2x
r 1 = a + b i , r 2 = a − b i , r 1 , r 2 是一对共轭复数 ⇒ y = e a x ( C 1 cos ⁡ b x + C 2 sin ⁡ b x ) r_1 =a+bi,r_2=a-bi,r_1,r_2是一对共轭复数\Rightarrow y=e^{ax}(C_1 \cos bx+C_2\sin bx) r1=a+bir2=abi,r1,r2是一对共轭复数y=eax(C1cosbx+C2sinbx)

常系数非齐次线性微分方程

形如 y ′ ′ + b y ′ + c y = e t x f ( x ) ⇒ y''+by'+cy=e^{tx}f(x)\Rightarrow y′′+by+cy=etxf(x) y ∗ = x k e t x g ( x ) y^*=x^ke^{tx}g(x) y=xketxg(x),其中 :
g ( x ) , f ( x ) g(x),f(x) g(x),f(x)同次
k k k是特征方程含根 t t t重复次数

形如 y ′ ′ + b y ′ + c y = e t x [ f 1 ( x ) cos ⁡ b x + f 2 ( x ) sin ⁡ x ] ⇒ y''+by'+cy=e^{tx}[f_1(x)\cos bx+f_2(x) \sin x] \Rightarrow y′′+by+cy=etx[f1(x)cosbx+f2(x)sinx] y ∗ = x k e t x [ g 1 ( x ) cos ⁡ b x + g 2 ( x ) sin ⁡ b x ] y^*=x^ke^{tx}[g_1(x)\cos bx+g_2(x) \sin bx] y=xketx[g1(x)cosbx+g2(x)sinbx],其中 :
g 1 ( x ) , g 2 ( x ) g_1(x),g_2(x) g1(x),g2(x) f 1 ( x ) , f 2 ( x ) f_1(x),f_2(x) f1(x),f2(x)的最高次等同
②如果 t + b i t+bi t+bi特征方程的解 k = 1 k=1 k=1,否则为 0 0 0

第八章 多元函数微分学

基本概念

偏导数

z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某一邻域有定义,且 lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \displaystyle \lim_{\Delta x \to0} \cfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)存在
f x ′ ( x 0 , y 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f'_x(x_0,y_0)=\displaystyle \lim_{\Delta x \to0} \cfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} fx(x0,y0)=Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)

全微分

全微分定义

如果 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的全增量 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0) 可表示为
Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) , ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2

A Δ x + B Δ y A\Delta x+B\Delta y AΔx+BΔy全微分,即 d z = A d x + B d y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=Adx+Bdy=\cfrac{\partial z}{\partial x}dx+\cfrac{\partial z}{\partial y}dy dz=Adx+Bdy=xzdx+yzdy

判定全微分是否存在

f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0) fx(x0,y0),fy(x0,y0)是否存在
lim ⁡ ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] − [ f x ′ ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ′ ( x 0 , y 0 ) Δ y ] ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \displaystyle \lim_{(\Delta x ,\Delta y) \to (0,0)} \cfrac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[f'_x(x_0,y_0) \Delta x+f'_y(x_0,y_0) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} (Δx,Δy)(0,0)lim(Δx)2+(Δy)2 [f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)][fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy]是否为零

连续、可偏导及可微直接的关系

高等数学笔记_第1张图片

多元函数的极值和最值

无条件极值

极值的定义设函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)某邻域内有定义,如果对 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的去心邻域,都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) f(x,y)f(x,y)<f(x0,y0),则 f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0)是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的一个极大值,对应的极值点就是 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)
极值的必要条件 { f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 \left\{\begin{aligned} f'_x(x_0,y_0)=0\\ f'_y(x_0,y_0)=0\\ \end{aligned}\right. {fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0
极值的充分条件
f x ′ ( x 0 , y 0 ) = f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0
A = f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) , B = f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) = f y x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) , C = f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0)=f''_{yx}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0) A=fxx′′(x0,y0),B=fxy′′(x0,y0)=fyx′′(x0,y0),C=fyy′′(x0,y0)

  • A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 ACB2>0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极值点
    A < 0 A<0 A<0, ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极大值点
    A > 0 A>0 A>0, ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极小值点
  • A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 ACB2<0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)不是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极值点
  • A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 ACB2=0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可能是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极值点,也可能不是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的极值点,用定义判断

约束极值

z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在条件 ψ ( x , y ) = 0 \psi(x,y)=0 ψ(x,y)=0下取得极值
①构造拉格朗日函数 F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ ψ ( x , y ) F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\psi(x,y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λψ(x,y)
{ f x ′ ( x , y ) + λ ψ x ′ ( x , y ) = 0 f y ′ ( x , y ) + λ ψ y ′ ( x , y ) = 0 ψ ( x , y ) = 0 \left\{\begin{aligned} &f'_x(x,y)+\lambda\psi'_x(x,y)=0\\ &f'_y(x,y)+\lambda\psi'_y(x,y)=0\\ &\psi(x,y)=0\\ \end{aligned}\right. fx(x,y)+λψx(x,y)=0fy(x,y)+λψy(x,y)=0ψ(x,y)=0

求体积

V = S h = ∫ d V V=Sh = \int dV V=Sh=dV

旋转体

S ( x ) = f ( x ) − g ( x ) S(x)=f(x)-g(x) S(x)=f(x)g(x)

高等数学笔记_第2张图片

  1. 绕x轴
    ∫ a b π ( f ( x ) − g ( x ) ) 2 d x \displaystyle \int_{a}^{b} \pi (f(x)-g(x))^2 dx abπ(f(x)g(x))2dx
  2. 绕y轴
    ∫ a b 2 π ( f ( x ) − g ( x ) ) x d x \displaystyle \int_{a}^{b} 2\pi (f(x)-g(x))xdx ab2π(f(x)g(x))xdx?

第十章 无穷级数

常数项级数

正项级数


∑ n = 1 ∞ 1 n p \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \cfrac 1{n^p} n=1np1   ,当 p > 1 p>1 p>1时收敛,当 p ≤ 1 p \leq 1 p1时发散
∑ n = 1 ∞ a q n \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } a q^n n=1aqn   ,当 q < 1 q<1 q<1时收敛,当 p ≥ 1 p \geq 1 p1时发散

②比值法: lim ⁡ n → ∞ u n + 1 u n = ρ ⇒ ∑ n = 1 ∞ u n { 收敛, ρ < 1 发散, ρ > 1 不一定, ρ = 1 \displaystyle \lim _{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } u_n \left\{\begin{aligned} 收敛,\rho <1\\ 发散,\rho >1\\ 不一定,\rho=1\\ \end{aligned}\right. nlimunun+1=ρn=1un 收敛,ρ<1发散,ρ>1不一定,ρ=1

③根值法: lim ⁡ n → ∞ u n n = ρ ⇒ ∑ n = 1 ∞ u n { 收敛, ρ < 1 发散, ρ > 1 不一定, ρ = 1 \displaystyle \lim _{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n}=\rho \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } u_n \left\{\begin{aligned} 收敛,\rho <1\\ 发散,\rho >1\\ 不一定,\rho=1\\ \end{aligned}\right. nlimnun =ρn=1un 收敛,ρ<1发散,ρ>1不一定,ρ=1

a = f ( n ) ⇒ ∑ n = 1 ∞ a n \displaystyle a=f(n) \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n a=f(n)n=1an ∫ 1 ∞ f ( x ) d x \displaystyle \int^\infty _1 f(x)dx 1f(x)dx同敛散

交错级数

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n u n , u n > 0 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n u_n , u_n>0 n=1(1)nun,un>0
莱布尼茨准则 { { u n } 单调减 lim ⁡ n → ∞ u n = 0 ⇒ ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n u n 收敛 \left\{\begin{aligned} \{u_n\}单调减\\ \lim_{n \to \infty} u_n=0\\ \end{aligned}\right.\Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n u_n 收敛 {un}单调减nlimun=0n=1(1)nun收敛

任意级数

绝对收敛与条件收敛

绝对收敛: ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 收敛 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } |u_n|收敛 n=1un收敛

条件收敛: ∑ n = 1 ∞ u n 收敛, ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 发散 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } u_n收敛,\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } |u_n|发散 n=1un收敛,n=1un发散

傅里叶级数

傅里叶系数和傅里叶级数

函数 f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2 \pi 2π的周期函数,且在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]可积,则称 a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x , n = 0 , 1 , 2... a_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx,n=0,1,2... an=π1ππf(x)cosnxdx,n=0,1,2... b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x , n = 1 , 2... b_n=\cfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx,n=1,2... bn=π1ππf(x)sinnxdx,n=1,2... f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶系数,称级数 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) \cfrac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx) 2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx) f ( x ) f(x) f(x) 2 π 2\pi 2π为周期的傅里叶级数。即 f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) f(x) \sim \cfrac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx) f(x)2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx)

收敛定理(狄利克雷)

① S ( x ) = f ( x ) , 当 x 为 f ( x ) 的连续点 ① S(x)=f(x),当x为f(x)的连续点 S(x)=f(x),xf(x)的连续点
② S ( x ) = f ( x − ) + f ( x + ) 2 , 当 x 为 f ( x ) 的间断点 ② S(x)=\cfrac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2},当x为f(x)的间断点 S(x)=2f(x)+f(x+),xf(x)的间断点
③ S ( x ) = f ( ( − π ) + ) + f ( π − ) 2 , x = ± π ③ S(x)=\cfrac{f((-\pi)^{+})+f(\pi^{-})}{2},x=\pm \pi S(x)=2f((π)+)+f(π),x=±π

奇偶函数的展开(展开为正余弦

  • f ( x ) 为奇函数 ⇔ 展开为正弦 f(x)为奇函数 \Leftrightarrow 展开为正弦 f(x)为奇函数展开为正弦
    a n = 0 , n = 0 , 1 , 2... a_n=0,n=0,1,2... an=0,n=0,1,2... b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin ⁡ n x d x , n = 1 , 2... b_n=\cfrac{2}{\pi}\int_{0}^\pi f(x)\sin nx dx,n=1,2... bn=π20πf(x)sinnxdx,n=1,2...

  • f ( x ) 为偶函数 ⇔ 展开为余弦 f(x)为偶函数 \Leftrightarrow 展开为余弦 f(x)为偶函数展开为余弦
    a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos ⁡ n x d x , n = 0 , 1 , 2... a_n=\cfrac{2}{\pi}\int_{0}^\pi f(x)\cos nx dx,n=0,1,2... an=π20πf(x)cosnxdx,n=0,1,2... b n = 0 , n = 1 , 2... b_n=0,n=1,2... bn=0,n=1,2...

周期为2l展开

a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos ⁡ n π x l d x , n = 0 , 1 , 2... a_n=\cfrac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \cfrac{n\pi x}{l}dx,n=0,1,2... an=l1llf(x)coslxdx,n=0,1,2... b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin ⁡ n π x l d x , n = 1 , 2... b_n=\cfrac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin \cfrac{n\pi x}{l}dx,n=1,2... bn=l1llf(x)sinlxdx,n=1,2...

第十二章 多元微分学及其应用

三重积分

直角坐标

先一后二或先二后一

柱坐标

∭ f ( x , y , z ) d v = ∭ f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ , z ) r d r d θ d z \displaystyle\iiint f(x,y,z)\mathrm{dv}=\displaystyle\iiint f(r\cos\theta,r\sin \theta,z)r\mathrm{drd\theta dz} f(x,y,z)dv=f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz

球坐标

∭ f ( x , y , z ) d v = ∭ f ( r sin ⁡ φ cos ⁡ θ , r sin ⁡ φ sin ⁡ θ , r cos ⁡ φ ) r 2 sin ⁡ φ d r d φ d θ \displaystyle\iiint f(x,y,z)dv=\displaystyle\iiint f(r \sin \varphi \cos\theta,r\sin \varphi \sin \theta,r \cos \varphi)r^2\sin \varphi \mathrm{dr d\varphi d\theta } f(x,y,z)dv=f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)r2sinφdrdφdθ

曲线积分

第一类:弧长线积分

直接法

①L: { x = x ( t ) y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b \left\{\begin{aligned} x=x(t)\\ y=y(t)\\ \end{aligned}\right. ,a \leq t \leq b {x=x(t)y=y(t),atb ⇒ \Rightarrow ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x ( t ) , y ( t ) ) x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t \displaystyle\int_L f(x,y)ds=\int^b_af(x(t),y(t)) \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt Lf(x,y)ds=abf(x(t),y(t))x′2(t)+y′2(t) dt

②L: y = y ( x ) , a ≤ x ≤ b y=y(x) ,a \leq x \leq b y=y(x),axb ⇒ \Rightarrow ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + y ′ 2 ( x ) d t \displaystyle\int_L f(x,y)ds=\int^b_af(x,y(x)) \sqrt{1+y'^2(x)}dt Lf(x,y)ds=abf(x,y(x))1+y′2(x) dt

③L: r = r ( θ ) , a ≤ θ ≤ b r=r(\theta),a \leq \theta \leq b r=r(θ),aθb ⇒ \Rightarrow ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r 2 + r ′ 2 ( θ ) d θ \displaystyle\int_Lf(x,y)ds=\int^b_a f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2+r'^2(\theta)}d\theta Lf(x,y)ds=abf(rcosθ,rsinθ)r2+r′2(θ) dθ

第二类:坐标线积分

格林公式(平面)

顺时针为负,逆时针为正
∮ L P d x + Q d y = ∬ ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \displaystyle \oint_L Pdx+Qdy=\iint (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} )dxdy LPdx+Qdy=(xQyP)dxdy
∮ L P d x + Q d y = ∮ L ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β ) d s \displaystyle \oint_L Pdx+Qdy=\oint _L (P\cos \alpha +Q\cos \beta) ds LPdx+Qdy=L(Pcosα+Qcosβ)ds

斯托克斯

∮ L P d x + Q d y + R d z = ∬ Σ ∣ cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ d S = ∬ Σ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \displaystyle \oint_L Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\Sigma \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \cos \beta &\cos \gamma \\ \cfrac{\partial }{\partial x}&\cfrac{\partial }{\partial y} &\cfrac{\partial }{\partial z} \\ P& Q&R \\ \end{matrix} \right| dS=\iint_\Sigma (\cfrac{\partial R}{\partial y}-\cfrac{\partial Q}{\partial z})dydz+ (\cfrac{\partial P}{\partial z}-\cfrac{\partial R}{\partial x})dzdx+ (\cfrac{\partial Q}{\partial x}-\cfrac{\partial P}{\partial y})dxdy LPdx+Qdy+Rdz=Σ cosαxPcosβyQcosγzR dS=Σ(yRzQ)dydz+(zPxR)dzdx+(xQyP)dxdy

曲面积分

直接法

上侧取正,下侧取负

高斯公式

∯ Ω 外 P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ ( ∂ P ∂ x + ∂ P ∂ y + ∂ R ∂ z ) d x d y d z \displaystyle \oiint_{\Omega外} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} )dxdydz ΩPdydz+Qdzdx+Rdxdy=(xP+yP+zR)dxdydz

场论

变力做功

F = P i + Q j + R k F=Pi+Qj+Rk F=Pi+Qj+Rk
则功 W = ∫ A B P d x + Q d y + R d z W=\displaystyle \int _{AB}Pdx+Qdy+Rdz W=ABPdx+Qdy+Rdz

通量

向量场 U = P i + Q j + R k U=Pi+Qj+Rk U=Pi+Qj+Rk
则通量 Φ = ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d y d x \displaystyle \Phi =\iint _\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdydx Φ=ΣPdydz+Qdzdx+Rdydx

散度

向量场 A = { P , Q , R } A=\{P,Q,R\} A={P,Q,R}
则散度 d i v A = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z div A=\cfrac{\partial P}{\partial x}+\cfrac{\partial Q}{\partial y} +\cfrac{\partial R}{\partial z} divA=xP+yQ+zR

旋度

向量场 A = { P , Q , R } A=\{P,Q,R\} A={P,Q,R}
则旋度 r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ rot A=\left| \begin{matrix} i & j &k \\ \cfrac{\partial }{\partial x}&\cfrac{\partial }{\partial y} &\cfrac{\partial }{\partial z} \\ P& Q&R \\ \end{matrix} \right| rotA=

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