高中奥数 2021-10-10

2021-10-10-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文圆幂与根轴 P062 习题13）

已知边长分别为、、的内接于,内切于,切点在弧上,由点、、分别引的切线长顺次为、、.证明:.

证明

如图,设两圆相切于点,,,分别交小圆于,,.

图1

则小圆与大圆关于点位似.

设小圆、大圆半径之比是,那么就是位似比.

由圆幂定理:,与是位似变换的对应线段,故.

所以,即.

同理,.

由托勒密定理得.

将三式代入得:.

2021-10-10-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文圆幂与根轴 P062 习题14）

由向外作和,使得:且,于是线段上的一点满足.证明:.

证明

如图,作,,因为,,所以,,及,,均三点共线.

图2

这样与三边对应相等.

则.

设,的中垂线交于点.

可以证明:即是将旋转至的旋转中心.

因为,,,所以.

所以,.

而,,所以.

又因为,,.

所以,.

这表明、、绕旋转后所得的像点依次是、、.

所以是的像.

因为,,是顶角相同的等腰三角形,故它们相似(其中与全等).

因为,由此知是旋转后的像.

所以.

所以,.

又得,.

所以.同理可证得:.

因为是旋转后的像,所以,且有.

所以,,.

即.

2021-10-10-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文圆幂与根轴 P062 习题15）

已知圆的中心为,为直径.点位于圆上使得.设是不包含点的弧的中点.直线通过且平行于直线,设交直线于.线段的垂直平分线交圆于和.求证:是的内心.

证明

如图,连结、、、、.

图3

我们首先证明位于的内角平分线上.

事实上,因为和是关于的一对反射点,、是关于的另一对反射点(四边形是平行四边形),所以.

因此我们只需证明.

这等价于证明(1).

由已知条件易知是等边三角形,由于 $\angle DOE=\angle AOE-\angle AOD=60^{\circ}-\dfrac{1}{2}\angle AOB=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\left(\angle AOB+60^{\circ}\right)\right)=\dfrac{1}{2}\left(180^{\circ}-\left(\angle AOB+\angle FOA\right)\right)=\dfrac{1}{2}\angle FOC$ .

(1)式得证,从而证得位于的内角平分线上.

又易见,故位于的平分线上.

故是的内心.

2021-10-10-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文圆幂与根轴 P062 习题16）

设是凸六边形,,,,、是六边形内两点,使.求证.

证明

用旋转法来证明本题.

如图,分别以、为边向六边形外作正和.

图4

将绕逆时针旋转到,则为正三角形,故,.

同样,将顺时针旋转到,则为正三角形.

于是,.

连,则多边形关于轴对称,.

另一方面,由“两点间线段最短”有.

从而.

高中奥数 2021-10-10

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