2021-10-10-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题13）
已知边长分别为、、的内接于,内切于,切点在弧上,由点、、分别引的切线长顺次为、、.证明:.
证明
如图,设两圆相切于点,,,分别交小圆于,,.
则小圆与大圆关于点位似.
设小圆、大圆半径之比是,那么就是位似比.
由圆幂定理:,与是位似变换的对应线段,故.
所以,即.
同理,.
由托勒密定理得.
将三式代入得:.
2021-10-10-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题14）
由向外作和,使得:且,于是线段上的一点满足.证明:.
证明
如图,作,,因为,,所以,,及,,均三点共线.
这样与三边对应相等.
则.
设,的中垂线交于点.
可以证明:即是将旋转至的旋转中心.
因为,,,所以.
所以,.
而,,所以.
又因为,,.
所以,.
这表明、、绕旋转后所得的像点依次是、、.
所以是的像.
因为,,是顶角相同的等腰三角形,故它们相似(其中与全等).
因为,由此知是旋转后的像.
所以.
所以,.
又得,.
所以.同理可证得:.
因为是旋转后的像,所以,且有.
所以,,.
即.
2021-10-10-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题15）
已知圆的中心为,为直径.点位于圆上使得.设是不包含点的弧的中点.直线通过且平行于直线,设交直线于.线段的垂直平分线交圆于和.求证:是的内心.
证明
如图,连结、、、、.
我们首先证明位于的内角平分线上.
事实上,因为和是关于的一对反射点,、是关于的另一对反射点(四边形是平行四边形),所以.
因此我们只需证明.
这等价于证明(1).
由已知条件易知是等边三角形,由于.
(1)式得证,从而证得位于的内角平分线上.
又易见,故位于的平分线上.
故是的内心.
2021-10-10-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题16）
设是凸六边形,,,,、是六边形内两点,使.求证.
证明
用旋转法来证明本题.
如图,分别以、为边向六边形外作正和.
将绕逆时针旋转到,则为正三角形,故,.
同样,将顺时针旋转到,则为正三角形.
于是,.
连,则多边形关于轴对称,.
另一方面,由“两点间线段最短”有.
从而.