【Luogu】 P5176 公约数

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题目解法

首先证明一个结论：$(ij,ik,jk)=\frac{(i,j)(i,k)(j,k)}{(i,j,k)}$
考虑对于 $i,j,k$ 的质因子 $p$ 的次数考虑，假设次数分别为 $a,b,c(a\le b\le c)$
对于右边， $(i,j,k)=a$，$(i,j)=a,(i,k)=a,(j,k)=b$，所以 $\frac{(i,j)(i,k)(j,k)}{(i,j,k)}=ab$
对于左边，$ij=ab,ik=ac,jk=bc$，所以 $(ij,ik,jk)=ab$
所以 左边 = 右边
可以推广到任意数的情况

所以
$Ans={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{k=1}^p\frac{(i,j)(i,k)(j,k)}{(i,j,k)}\ast (i,j,k)\ast \left(\frac{(i,j)}{(i,k)(j,k)}+\frac{(i,k)}{(i,j)(j,k)}+\frac{(j,k)}{(i,j)(i,k)}\right)$
$={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{k=1}^p(i,j)(i,k)(j,k)\ast \left(\frac{(i,j)}{(i,k)(j,k)}+\frac{(i,k)}{(i,j)(j,k)}+\frac{(j,k)}{(i,j)(i,k)}\right)$
$={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m{\sum }_{k=1}^p(i,j{)}^2+(i,k{)}^2+(j,k{)}^2$
考虑对于 $(i,j{)}^2$ 的项只与 $i,j$ 有关，所以考虑计算它的系数
所以 $Ans=p\ast {\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(i,j{)}^2+m\ast {\sum }_{i=1}^n{\sum }_{k=1}^p(i,k{)}^2+n\ast {\sum }_{j=1}^m{\sum }_{k=1}^p(j,k{)}^2$

考虑单独计算 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(i,j{)}^2$，其他的同理
根据莫比乌斯反演，考虑枚举 $d$
${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(i,j{)}^2$
$={\sum }_{d=1}^n{d}^2{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{\sum }_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[(i,j)=1]$
接下来就是套路的莫比乌斯反演
最终可以化的答案为 ${\sum }_{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor {\sum }_{k|T}{k}^2\ast \mu (\frac{T}{k})$
其中前半部分可以数论分块做，可以做到 $O(\sqrt{n})$
考虑如何将 ${\sum }_{k|T}{k}^2\ast \mu (\frac{T}{k})$ 在线性的时间内预处理出
令 $f(n)=n^2,g(n)=\mu (n),h(n)={\sum }_{k|n}{k}^2\ast \mu (\frac{n}{k})$
且 $f\ast g=h$
因为 $f$ 和 $g$ 都是积性函数，所以卷积出来的 $h$ 也是积性函数
考虑线性筛
现在需要解决 $h(p^k)(k>1)$ 的情况如何递推
$h(p)={\sum }_{k|p}{k}^2\ast \mu (\frac{p}{k})=p^2-1$
$h(p^k)={\sum }_{k|p}{k}^2\ast \mu (\frac{p}{k})=\mu (p^k)+p^2\ast \mu (p^{k-1})+...+p^{2(k-1)}\ast \mu (p)+p^{2k}\ast \mu (1)$
考虑 $\mu (p^k)(k>1)=0$
所以 $h(p^k)=p^{2k}-p^{2(k-1)}=p^2\ast h(p^{k-1})$

时间复杂度 $O(n+T\sqrt{n})$

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N(20000100),P(1e9+7);
int h[N],pr[N/10],cnt;
bool vis[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
void init(int n){
	h[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) pr[++cnt]=i,h[i]=((LL)i*i%P-1+P)%P;
		for(int j=1;j<=cnt&&i<=n/pr[j];j++){
			vis[pr[j]*i]=1;
			if(i%pr[j]==0){
				h[pr[j]*i]=(LL)h[i]*pr[j]%P*pr[j]%P;
				break;
			}
			h[pr[j]*i]=(LL)h[i]*h[pr[j]]%P;
		}
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) h[i]=(h[i-1]+h[i])%P;
}
int ask(int n,int m){
	int t=min(n,m),res=0;
	for(int i=1,j;i<=t;i=j+1){
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		res=(res+(LL)(n/i)*(m/i)%P*(h[j]-h[i-1]+P)%P)%P;
	}
	return res;
}
void work(){
	int n=read(),m=read(),p=read();
	printf("%d\n",(LL)((LL)p*ask(n,m)%P+(LL)m*ask(n,p)%P+(LL)n*ask(m,p)%P)%P);
}
int main(){
	init(2e7); 
	int T=read();
	while(T--) work();
	return 0;
}