力扣 343. 整数拆分

题目来源：https://leetcode.cn/problems/integer-break/description/

 

C++题解1：动态规划。dp[i] 代表数字i拆分后得到的最大乘积。递归公式为拆分后两个数的最大乘积相乘，即 dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i-j])。对于n=2或3需要另外讨论。

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n == 2) return 1;
        else if(n == 3) return 2;
        vector dp(n+1, 0);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j < i; j++){
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i-j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

C++题解2（来源代码随想录）：动规五部曲。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义。dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
2. 确定递推公式。 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i]。一个是j * (i - j) 直接相乘；另一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。那有同学问了，j怎么就不拆分呢？j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))；也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
3. dp的初始化。初始化dp[2] = 1。
4. 确定遍历顺序。先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))。dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

C++题解3（来源代码随想录）：贪心算法。“拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的”。每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        int result = 1;
        while (n > 4) {
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};